Les travaux de Stanislav Smirnov

Stanislav Smirnov vient de recevoir la médaille Fields « pour sa démonstration de l’invariance conforme de la percolation et du modèle d’Ising en physique statistique. »

Stanislav Smirnov a donné une base mathématique solide à un domaine en pleine croissance de la physique mathématique. Il a donné des preuves élégantes de deux conjectures anciennes et fondamentales en physique statistique, trouvant des symétries surprenantes dans les modèles mathématiques de certains phénomènes physiques.

Le travail de Smirnov, bien que hautement théorique, est relié à des questions étonnamment pratiques. Par exemple, quand l’eau peut-elle s’écouler à travers une couche de terre, ou quand est-elle bloquée en surface ? Pour qu’elle puisse s’écouler, il faut que les petits trous dans la terre soient suffisamment connectés pour qu’un tunnel traverse la couche. C’est une question classique en physique statistique car le comportement à grande échelle du système (est-ce qu’il existe un chemin continu de pores permettant à l’eau de s’écouler ?) est déterminé par son comportement probabiliste à petite échelle (quelle est la chance qu’un pore soit présent à un endroit donné quelconque).

Un amas de percolation

C’est aussi une question qu’on peut modéliser mathématiquement d’une façon naturelle. Imaginez chaque petite zone de terre comme un point dans une grille ou un réseau et coloriez-le en bleu si l’eau peut s’y écouler et en jaune sinon. Déterminez la couleur de chaque zone en jouant à pile ou face (face pour jaune, pile pour bleu) avec une pièce éventuellement biaisée. Si un chemin de zones bleues contiguës relie deux côtés opposés d’un rectangle alors l’eau peut s’écouler de l’un à l’autre.

Ces « modèles de percolation » se comportent de façon remarquable. Pour des valeurs extrêmes, ils se comportent comme on peut s’y attendre : si la pièce est fortement biaisée en faveur du jaune, l’eau ne pourra presque certainement pas s’écouler, et si la pièce est fortement biaisée en faveur du bleu, l’eau pourra presque certainement le faire. Mais la probabilité que l’eau puisse s’écouler ne varie pas régulièrement avec l’augmentation de la proportion de zones bleues. En fait, l’eau sera presque sûrement bloquée jusqu’à ce que le pourcentage de zones bleues atteigne un certain seuil à partir duquel la probabilité que l’eau puisse s’écouler commence à augmenter très rapidement. La valeur de ce seuil est appelée le « point critique ». Ce genre de changement brutal de comportement ressemble à ce qui se passe quand de l’eau chauffe : en atteignant une température critique, l’eau se met tout d’un coup à bouillir. C’est pourquoi ce phénomène est couramment appelé une transition de phase.

Évidemment, une couche de terre réelle n’est pas faite de pores proprement réparties verticalement et horizontalement. L’application de ce modèle au monde réel pose donc un certain nombre de questions gênantes. Tout d’abord, quelle finesse choisir pour la grille ? Les physiciens cherchent à comprendre les processus à l’échelle moléculaire, ce qui implique des grilles très fines. Les mathématiciens se demandent alors quelles relations entretiennent les modèles avec des grilles encore plus petites. Ils espèrent qu’à mesure que les grilles deviennent plus fines, les modèles vont approcher de plus en plus un modèle unique correspondant à une grille infiniment fine, appelée une « limite d’échelle ».

Pour comprendre qu’il n’est pas évident qu’une telle limite existe, imaginez que vous ayez choisi un certain pourcentage de zones bleues dans un réseau et que vous calculiez la probabilité que les pores permettent à l’eau de le traverser. Prenez maintenant un réseau plus fin et refaites le calcul. À mesure que la grille s’affine, la probabilité d’écoulement peut s’approcher de plus en plus d’un certain nombre, de la même façon que les nombres 1,9 1,99 1,999 1,9999… s’approchent de 2. Dans ce cas, ce nombre sera la probabilité d’écoulement dans la limite d’échelle. Mais on peut tout à fait imaginer que la probabilité d’écoulement fasse de grands sauts et ne converge jamais vers une limite, comme la suite de nombres 2, 4, 2, 4, 2, 4… Dans ce cas, la probabilité d’écoulement pour le modèle limite est-elle 2 ou 4 ? Il n’y a pas de bonne réponse, et il faut donc considérer que la limite d’échelle n’existe pas.

Une autre question qui peut poser problème est la forme du réseau à utiliser. Même en se restreignant à deux dimensions, il y a beaucoup de possibilités : réseaux carrés, triangulaires, en losange… L’idéal serait que le modèle soit « universel », de sorte que le choix de la forme de la grille n’ait pas d’importance, mais il n’est pas évident que ce soit le cas.

Les physiciens sont convaincus qu’aucun de ces problèmes potentiels n’est vraiment gênant. Par l’intuition physique, ils ont donné des arguments convaincants indiquant que le modèle va effectivement approcher une limite d’échelle bien définie à mesure que la grille devient plus fine. Ils se sont même persuadés que, bien que la forme du réseau affecte le point critique, elle n’influencera pas la majorité des autres propriétés qui les intéressent.

Les physiciens ont également découvert, pour les réseaux bidimensionnels, les indices d’une belle et surprenante symétrie. Imaginez que vous prenez un réseau de n’importe quelle forme et que vous l’étirez et le compressez, mais en gardant tous les angles inchangés. La mappemonde de Mercator est un exemple d’une telle déformation : les distances sont modifiées et le Groënland y est énorme, mais les méridiens et les parallèles se croisent tout de même à angle droit. Les physiciens se sont convaincus que si vous transformez des modèles de percolation bidimensionnel de cette manière, cela ne changera pas la limite d’échelle (du moins tant que vous restez près du point critique). Pour le dire en termes techniques, ils sont persuadés que les limites d’échelle sont « conformément invariantes ».

En 1992 John Cardy, un physicien de l’université d’Oxford, s’est basé sur ce point de vue pour atteindre l’un des principaux objectifs de la théorie de la percolation : établir une formule précise qui donne la probabilité d’écoulement de la limite d’échelle des réseaux bidimensionnels près du point critique. Un seul problème : bien que ses arguments physiques soient convaincants, ni lui ni personne d’autre n’est parvenu à transformer cette intuition physique en une démonstration mathématique.

En 2001, Smirnov a établi les fondations mathématiques solides de cette théorie physique. Il a prouvé que les limites d’échelle sont conformément invariantes dans le cas du réseau triangulaire (la forme naturellement prise par des pièces posées à plat sur une table et tassées ensemble). Par la même occasion, il a démontré que la formule de Cardy est correcte dans le cas de ces réseaux. Sa preuve repose sur une approche indépendante de celles utilisées précédemment par les physiciens, et qui a permis de développer de nouvelles idées fondamentales. Elle a aussi fourni une étape cruciale qui manquait à la théorie du processus d’évolution de Schramm-Loewner, une méthode importante récemment développée en physique statistique.

Dans un autre travail majeur, Smirnov a utilisé des méthodes similaires pour comprendre le modèle d’Ising, qui décrit divers phénomènes dont le magnétisme, le mouvement des gaz, le traitement d’images et l’écologie. Tout comme dans la percolation, les comportements à grande échelle de ces phénomènes sont déterminés par leur comportement probabiliste à petite échelle. Considérons l’exemple du magnétisme : dans un morceau de fer, les atomes se comportent comme de petits aimants, le mouvement des électrons autour du noyau créant un champ magnétique miniature. Les atomes tendent à pousser leurs voisins à avoir le même alignement qu’eux. Quand suffisamment d’atomes ont le pôle nord qui pointe dans la même direction, le morceau de fer entier devient aimanté. Les mathématiciens modélisent ceci en imaginant les atomes placés aux nœuds d’un réseau, et en appliquant des règles statistiques pour déterminer si leur pôle nord pointe vers le haut ou vers le bas.

Comme dans le modèle de percolation, le modèle d’Ising fait apparaître une transition de phase : si on chauffe le fer, les atomes se mettent à vibrer plus rapidement, et au-delà d’une certaine température les vibrations sont tellement fortes que les atomes ne s’alignent plus avec leurs voisins. Le morceau perd alors son aimantation.

Les mêmes questions qui intéressent les mathématiciens et les physiciens en percolation s’appliquent au modèle d’Ising. Les grilles devraient être très petites, puisque tout se passe à l’échelle atomique. À mesure que la maille des grilles s’affine, le modèle converge-t-il vers une version infiniment fine, une limite d’échelle ? Comment la forme du réseau affecte-t-elle la température critique et les autres propriétés du système ? Que se passe-t-il si on étire ou contracte le réseau sans changer les angles — la limite d’échelle change-t-elle ?

Pour ce modèle également, Smirnov a réussi à montrer qu’il converge vers une limite d’échelle quand la maille devient de plus en plus fine, et que celle-ci est conformément invariante. Ensuite, avec Dmitry Chelkak, il a généralisé ces résultats à une large classe de réseaux différents, en établissant une forme d’universalité. Il a également produit des contributions significatives en analyse et en systèmes dynamiques. Son travail continuera d’enrichir à la fois les mathématiques et la physique dans le futur.