Linéarité 1

Le 15 juillet 2021  - Ecrit par  Vladimir Itenberg Voir les commentaires

Lorsqu’un cycliste parcourt 5 mètres en une seconde, on s’attend à ce que, en deux secondes, il parcoure 10 mètres. Si un vent faible a dévié la balle d’un biathlète de 3 millimètres de la cible, alors un vent deux fois plus fort la déviera approximativement de 6 millimètres. Nous nous attendons à ce que les changements de valeurs dépendent de façon proportionnelle de modifications des paramètres (au moins lorsque ces modifications sont suffisamment petites). Ce principe de linéarité est à la base de nombreux modèles mathématiques. Il fournit la notion de fonction différentiable, qui est « presque linéaire » sous de petites modifications de la variable et propose de postuler que la plupart des processus réels peuvent être décrits par de telles fonctions. Parfois, il s’avère que la propriété de linéarité reste vraie même sous de grandes modifications des paramètres initiaux, ce qui conduit à la notion d’espace vectoriel.

Dans cet article, nous considérons un certain nombre de problèmes très élémentaires dont la solution utilise des concepts mathématiques variés, mais ayant tous pour base la propriété de linéarité (voir aussi l’article La regula falsi de notre rubrique « En sortant de l’école »).

Les solutions des problèmes de l’article se trouvent dans des blocs dépliants, pour vous donner la possibilité d’essayer de résoudre ces problèmes vous-même. Il est fortement conseillé de lire les solutions avant de poursuivre la lecture de l’article.

Une manifestation parmi les plus simples de la linéarité est celle qu’on peut trouver dans des situations où une quantité $y$ est proportionnelle à une autre quantité $x$, ce qui se traduit par une relation linéaire : $y= kx$ pour un certain nombre $k$.

Voici deux exemples présentés avec des tableaux de valeurs.


Problème 1. Un cycliste véloce ?

Un cycliste a parcouru 5 km en une demi-heure à vitesse constante. En gardant la même vitesse, quelle distance parcourra-t-il en trois quarts d’heure ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

La distance $d$ parcourue par le cycliste à vitesse constante $v$, dépend linéairement du temps $t$ : on a $d = v \times t$. Par conséquent, si le temps est une fois et demie plus grand, la distance parcourue par le cycliste sera aussi une fois et demi plus grande. Ainsi, la distance parcourue par le cycliste sera de $1,5 \times 5$ km, c’est-à-dire de 7,5 km.


Deux quantités choisies de telle sorte que l’une d’elles soit déterminée par l’autre à l’aide d’une relation linéaire sont dites directement proportionnelles. Dans le problème 1, les quantités directement proportionnelles sont le temps et la distance parcourue par le cycliste à vitesse constante : $d = v \times t$.

Voici encore un exemple de quantités directement proportionnelles.

Problème 2. A quelle altitude ?

Un système de navigation intégré à l’arrière d’un siège d’avion informe un passager que le vol se passe à l’altitude de 37 000 pieds. En supposant qu’un pied mesure 30,5 cm, trouvez l’altitude de vol en mètres.

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

D’abord, exprimons 1 pied en mètres, étant donné qu’un mètre contient 100 centimètres :
1 pied = 30,5 (cm) / 100 = 0,305 mètres.

Notons x le nombre recherché de mètres. On a

Par conséquent, x/0,305 = 37000/1, d’où x = 37000 ∙ 0,305 = 11285 mètres.


Les quantités directement proportionnelles dans le problème 2 sont l’altitude exprimée en pieds et l’altitude exprimée en mètres. La solution du problème 2 est basée sur l’observation suivante : si $x_1$ et $x_2$ sont deux valeurs de la première de deux quantités directement proportionnelles et $y_1$ et $y_2$ sont les valeurs correspondantes de la deuxième quantité, alors, à condition que $y_2$ soit différent de 0 (ce qui implique que $x_2$ soit différent de 0), on a
\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}. \]

Cette égalité s’appelle une proportion (voir aussi l’article La regula falsi de notre rubrique « En sortant de l’école »).

Si on connaît trois des quatre valeurs qui apparaissent dans une proportion, on peut facilement retrouver la quatrième. Par exemple, si on connaît les valeurs de $x_2$, $y_1$ et $y_2$ dans la proportion
\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}, \]
on a $x_1 = \frac{x_2 \cdot y_1}{y_2}$ (à condition que $y_2$ soit différent de 0).
C’est cette formule qu’on retrouve quand on applique la règle de trois.

Pour éviter des erreurs dans une proportion, il est commode d’écrire les données de telle façon que les mêmes unités soient situées les unes sous les autres : les mètres sous les mètres, les pieds sous les pieds, les heures sous les heures, etc.

Problème 3. Dense du ventre

Trois ogres ont mangé beaucoup de foie gras au restaurant « Le Canard ». La quantité de foie gras consommée par chacun était proportionnelle à son poids. Le coût total de leur fête est de 324 euros. Combien chaque participant de la fête doit-il payer pour régler équitablement l’addition sachant que le premier ogre pèse 90 kg, le second, 120 kg et le troisième, 150 kg ?

Solution.

Le poids total des trois ogres est de 90 + 120 + 150 kg. Donc, le prix du foie gras par kg (c’est à dire pour 1 kg de poids des trois ogres) est de 324/360 = 0,9 euros. Par conséquent, le premier ogre doit payer 0,9 × 90 = 81 euros, le deuxième 0,9 × 120 = 108 euros et le troisième 0,9 × 150 = 135 euros.


Analysons le tableau utilisé dans la solution du problème précédent. Les deux lignes de ce tableau sont proportionnelles : chaque nombre de la deuxième ligne est égal au nombre correspondant de la première ligne multiplié par 0,9.
Remarquons que les colonnes de ce tableau sont aussi deux à deux proportionnelles. Par exemple, chaque nombre de la quatrième colonne est égal au nombre correspondant de la première colonne multiplié par 4.

Essayez de démontrer l’affirmation suivante : si les cases d’un tableau rectangulaire sont remplies par des nombres non nuls de telle façon que les lignes de ce tableau sont deux à deux proportionnelles, alors les colonnes du tableau sont aussi deux à deux proportionnelles.


La solution du problème suivant contient une idée supplémentaire.

Problème 4. Beaucoup de fenêtres

Trois peintres peignent 60 fenêtres en 5 jours. Combien de jours faut-il à deux peintres pour peindre 48 fenêtres ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

Si 3 peintres peignent 60 fenêtres en 5 jours, alors 1 peintre peint 60 fenêtres en 5 × 3 = 15 jours. Donc 1 peintre peint 1 fenêtre en 15/60 = 1/4 jour. Par conséquent, 1 peintre peint 48 fenêtres en 1/4 × 48 = 12 jours, et 2 peintres peignent 48 fenêtres en 12/2 = 6 jours.


Dans le problème 4, on considère trois quantités : le nombre de peintres, le nombre de fenêtres et le nombre de jours. Lorsqu’on fixe la valeur d’une de ces quantités (par exemple, 1 peintre), on obtient une relation entre les deux autres quantités. Si la quantité fixée est le nombre de peintres (ou le nombre de jours), les deux autres quantités sont directement proportionnelles et on peut former des proportions pour leurs valeurs. Par contre, lorsque la quantité fixée est le nombre de fenêtres, les deux quantités restantes sont inversement proportionnelles, c’est-à-dire que chacune de ces deux quantités est directement proportionnelle à l’inverse de l’autre (on suppose que les quantités en question ne prennent pas la valeur 0).

Nous avons utilisé la proportionnalité directe dans la deuxième et la troisième étapes de la solution, tandis que dans la première et la quatrième étapes, nous avions affaire à des proportionnalités inverses.

Remarquons que, dans le problème 1, nous avions aussi trois quantités : la distance $d$, la vitesse $v$ et le temps $t$. Elles sont reliées par la relation
$d = v \times t$.
La vitesse étant fixée dans l’énoncé du problème, on obtient une proportionnalité directe entre le temps et la distance. Par contre, si on avait fixé la distance à la place de la vitesse, on aurait eu une proportionnalité inverse entre la vitesse et le temps.

* * *

De nombreux problèmes concernant la linéarité sont liés à la notion de pourcentage, c’est-à-dire à un centième d’un nombre considéré.

Problème 5. Un prix réduit

Les détenteurs de la carte de réduction d’une librairie ont une réduction de 5% à l’achat. Combien un titulaire d’une carte de réduction paiera-t-il pour un livre qui coûte 80 euros ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

La remise de 5% sur le prix d’un livre à 80 euros est de 80 × 0,05 = 4 euros. L’acheteur qui possède une carte de réduction paiera donc 80 - 4 = 76 euros pour ce livre.


 
Remarquons que l’on pouvait effectuer des calculs de façon légèrement différente : l’acheteur qui possède une carte de réduction doit payer 95% du prix du livre, soit 80 × 0,95 = 76 euros. Essayez de mettre en évidence deux quantités directement proportionnelles qui apparaissent dans cette solution.

Problème 6. Les rectangles de Pierre

Pierre a dessiné un rectangle qui n’est pas un carré. L’aire de ce rectangle est égale à 100 cm². Pierre a ensuite dessiné un autre rectangle en augmentant les grands côtés du premier rectangle de 10% et en diminuant les petits côtés du premier rectangle de 10%. Trouver l’aire du second rectangle.

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

La longueur d’un grand côté du second rectangle représente 110% de la longueur d’un grand côté du premier rectangle. La longueur d’un petit côté du second rectangle représente 90% de la longueur d’un petit côté du premier rectangle. Étant donné que l’aire du rectangle est égale au produit de la longueur d’un grand côté et de la longueur d’un petit côté, l’aire du second rectangle est égale à 1,1 × 0,9 × S = 0,99 × S, où S est l’aire du premier rectangle. Ainsi, l’aire du second rectangle est égale à 99 cm². Autrement dit, l’aire du second rectangle représente 99% de l’aire du premier rectangle.


Essayez de répondre à la question suivante : les périmètres des deux rectangles de Pierre sont-ils égaux ?

Dans certaines situations, une relation linéaire conduit à des conclusions qui contredisent notre intuition.

Problème 7. Transport de pastèques

Un restaurant a acheté un lot de pastèques pesant au total une tonne. Les pastèques achetées contenaient 99% d’eau chacune (plus précisément, le poids de matière sèche dans chaque pastèque représentait 1% du poids de la pastèque). Au cours du transport, les pastèques se sont desséchées et chacune contient maintenant 98% d’eau. Combien ce lot de pastèques pèse-t-il après le transport ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

Le lot initial de pastèques contient 99% d’eau et 1% de matière sèche, donc le poids de la matière sèche est égal à 0,01 × 1000 = 10 kg. Après le transport des pastèques, le poids de la matière sèche n’a pas changé : il est toujours égal à 10 kg. Mais maintenant, la matière sèche représente 2% du poids total. Par conséquent, le poids du lot de pastèques, après transport, est de 500 kg, car $\frac{(10 × 100)}{2} = 500$.


Dans le problème 7, la réponse, qui peut paraître paradoxale, s’explique par le fait que les pourcentages assez proches (1% et 2%) sont calculés pour des nombres différents.

Voici un autre problème (plus géométrique) dont la réponse aussi est contre-intuitive.

Problème 8. Une corde très longue

Dans ce problème, on considère la Terre comme une grande boule ronde. Posons une corde tendue sur l’équateur. Ajoutons ensuite 10m de corde et retendons la corde obtenue en la mettant à une hauteur constante du sol. Une personne peut-elle passer au-dessous de cette corde (en se penchant si nécessaire) ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

Notons R le rayon de la Terre, mesuré en mètres. La longueur (mesurée en mètres) de la corde initiale entourant l’équateur est alors égale à 2πR. La longueur de la corde rallongée est égale à 2πR + 10. Donc, le rayon du cercle formé par la corde rallongée est égal à (2πR + 10)/2π, c’est-à-dire à R + 10 / 2π . Par conséquent, la hauteur en question est 10 / 2π, c’est-à-dire environ 1,6 m. En se penchant, une personne peut donc passer au-dessous de la corde.


Dans la solution du problème 8, nous avons utilisé l’observation suivante :
si la longueur d’un cercle est égal à $l$, le rayon $r$ de ce cercle peut être trouvé
à l’aide de l’équation linéaire
\[ 2\pi r = l. \]

Les solutions de nombreux problèmes consistent essentiellement en la résolution d’équations linéaires, c’est-à-dire d’équations de la forme
\[ ax = b, \]
où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $a$ est non nul.
Voici deux autres exemples.

Problème 9. Jeu de fractions

Marie a écrit la fraction $\frac{11}{97}$. Nicolas peut faire, avec les fractions, les opérations suivantes :

  • Ajouter 1, de façon simultanée, au numérateur et au dénominateur d’une fraction ;
  • Multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction, de façon simultanée, par le même nombre entier strictement positif.

Nicolas pourra-t-il, en utilisant ces opérations de manière consécutive, obtenir

a) une fraction égale à $\frac{1}{3}$ ?
b) une fraction égale à $1$ ?

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article).

a) La multiplication du numérateur et du dénominateur d’une fraction par le même nombre ne change pas la valeur de la fraction. Si Nicolas utilise la première opération $x$ fois, il obtient une fraction égale à
$\frac{11 + x}{97 + x}$. Par conséquent, le problème se réduit à la résolution de l’équation
$3 (11 + x) = 97 + x$,
c’est-à-dire l’équation
\[ 2x = 64, \]
qui a une (unique) solution $x = 32$. La réponse est oui : pour obtenir une fraction égale à $\frac{1}{3}$, Nicolas peut effectuer 32 fois la première opération.

b) Pour qu’une fraction soit égale à 1, il faut que son numérateur et son dénominateur soient égaux. En utilisant les opérations autorisées, Nicolas ne peut pas obtenir une fraction ayant le numérateur et le dénominateur égaux, donc il ne peut pas obtenir une fraction égale à 1. La réponse est non.


La solution du problème 9b) peut être formulée de façon plus algébrique en réduisant ce problème à la résolution de l’équation
$11 + x = 97 + x$,
c’est-à-dire l’équation
\[ 0x = 86. \]
Cette dernière équation, bien sûr, n’a pas de solution.

De façon plus générale, si, dans une équation
\[ ax = b, \]
on a $a = 0$, l’existence de solution dépend de $b$ :
si $b$ est non nul, l’équation n’a pas de solution ;
si $b = 0$, tout nombre $x$ est une solution de cette équation.


Problème 10. Un tableau à remplir

Dans trois cases d’un tableau 3 × 3, on a placé les nombres 1, 3 et 5 de la façon indiquée sur la figure :

Remplissez les cases restantes du tableau, en utilisant des nombres réels, de telle façon que, dans toutes les lignes, colonnes et diagonales principales, les sommes des trois nombres soient les mêmes.

Solution.

Supposons que l’on ait mis un nombre $x$ dans la case vide de la première colonne. Alors, dans la case vide de la première ligne, on doit mettre le nombre $x-2$. Ensuite, dans la case centrale, on doit mettre le nombre $x-4$ et dans le coin inférieur droit, le nombre 7. Ensuite, dans la case au milieu de la troisième ligne, on doit mettre le nombre $x-6$ ; puis dans la case au milieu de la troisième colonne, on doit mettre le nombre $x-8$. Donc, la valeur de $x$ détermine les nombres dans toutes les cases.

La somme des nombres dans la deuxième colonne est égale à
$(x-2) + (x-4) + (x-6)$,
c’est-à-dire, à $3x-12$. On obtient l’équation
$x + 4 = 3x - 12$ ou encore $2x = 16$.
Par conséquent, s’il existe un remplissage demandé, alors $x = 8$. Il reste à vérifier que le remplissage ci-dessous convient :


Problèmes à résoudre par vous-mêmes

Problème 1. Une voiture américaine

Laure a acheté une voiture américaine dont l’indicateur de vitesse montre la vitesse en milles par heure. En prenant la valeur 1609 mètres comme valeur pour le mille américain, quelle sera la vitesse de la voiture en kilomètres par heure, arrondie au nombre entier le plus proche lorsque l’indicateur de vitesse indiquera 65 milles par heure ?

Solution.

Sachant qu’un kilomètre est égal à 1000 mètres et en utilisant des proportions, on passe des milles par heure aux mètres par heure, puis aux kilomètres par heure : une vitesse de 65 milles par heure est de 65 × 1609 = 104585 mètres par heure, qui à son tour est de $\dfrac{104585}{1000} = 104,585$ kilomètres par heure. Après arrondi, nous obtenons 105 km / h.

Problème 2. A deux, l’aspi c’est mieux

Juliette passe l’aspirateur dans la maison en 30 minutes. Pour son frère Eliott, cela prend 50 minutes. Aujourd’hui, la voisine leur a prêté son aspirateur (le même modèle). Combien de temps leur faudra-t-il ensemble et simultanément pour passer l’aspirateur dans la maison ?

Solution.

Juliette met $30$ minutes pour nettoyer $1$ maison. Donc en $1$ minute, elle aura nettoyé $\frac{1}{30}$ème de la maison. De même, en $1$ minute, Eliott aura nettoyé $\frac{1}{50}$ème de la maison. En $1$ minute, ils auront nettoyé ensemble $\frac{1}{30}+\frac{1}{50}$ème de la maison soit $\frac{8}{150}$ème. Pour toute la maison, il leur faudra donc $\frac{150}{8}$ minutes, c’est-à-dire $18$ minutes et $45$ secondes pour nettoyer la maison.
Remarque : le temps T recherché vérifie $\frac{1}{T} = \frac{1}{30} + \frac{1}{50}$.

Problème 3. Les seaux de Maya

Maya est à la plage avec onze de ses amies. Elles rapportent 30 seaux d’eau de mer en 15 minutes pour remplir la douve creusée autour de leur château (de sable). Combien faudra-t-il d’enfants pour rapporter 50 seaux en 10 minutes ?

Solution.

Si 12 enfants rapportent 30 seaux en 15 minutes, alors 12 enfants rapporteront 30/15 seaux (c’est-à-dire 2 seaux) en 1 minute ; donc, 1 enfant rapportera l’équivalent de 2/12 seaux (soit 1/6ème de seaux) en 1 minute. Par conséquent, il rapportera 10/6ème de seaux en 10 minutes.
Finalement, puisque $50 / \frac{10}{6} = 30$,
pour rapporter 50 seaux en 10 minutes, il faudra 30 enfants.

Problème 4. Plus grand ou plus petit ?

D’abord, le prix d’une voiture a été augmenté de 10%.
Ensuite, le nouveau prix à été réduit de 10%.
Le prix obtenu est-il égal au prix initial ?

Solution.

Notons $x$ le prix initial de la voiture.
Après l’augmentation de 10%, le prix est devenu égal à
\[(1 + \frac{1}{10})x.\]
Ensuite, après la réduction de 10%, le prix est devenu égal à
\[ (1 - \frac{1}{10})(1 + \frac{1}{10})x, \]
c’est-à-dire, égal à
\[ (1 - \frac{1}{100})x. \]
Par conséquent, le prix final de la voiture est strictement inférieur
au prix initial.

Essayez de répondre à la question suivante :
si, dans le problème précédent, on avait commencé par diminuer le prix de 10% avant de l’augmenter de 10%, est-ce que le prix final de la voiture serait lui aussi strictement inférieur au prix initial ?

Problème 5. La régularité : est-ce bien bénéfique ?

Hector travaille les six premiers mois de l’année à temps partiel pour une quotité de 50% et les six derniers mois à 200%. S’il travaillait à 100% durant toute l’année, son temps de travail serait-il moindre ?

Solution.

Notons $x$ le nombre d’heures qu’Hector doit effectuer
(à temps plein) chaque mois.
Durant l’année, Hector a travaillé $0,5 \times 6 \times x + 2 \times 6 \times x$ soit $15x$ heures.
S’il travaillait à 100% durant toute l’année, le nombre d’heures effectuées par Hector serait égal à $12x$, c’est-à-dire son temps de travail serait inférieur.

Problème 6. La radio payante ... c’est vache !

Lorenzo est un fidèle auditeur de FM-euh. Pour le récompenser de sa fidélité, la radio lui propose, pour le même prix, pour les douze mois à venir, de modifier le temps d’écoute de son abonnement mensuel en choisissant l’une des deux offres suivantes :

  1. Successivement,
    • Le premier mois, augmenter de $20$% le temps d’écoute ;
    • Les deuxième et troisième mois, le rabaisser de 20% par rapport au premier mois ;
    • Les neuf mois restant, revenir au temps initial.
  2. Successivement,
    • Le premier mois, augmenter de $30$% son temps d’écoute ;
    • Le deuxième mois, le rabaisser de $20$% par rapport au premier mois ;
    • Le troisième mois, le rabaisser encore, mais de $10$% par rapport au deuxième mois ;
    • Les neuf mois restant, revenir au temps d’écoute initial.

Quelle est l’offre lui permettant d’augmenter le plus sa durée d’écoute à l’issue de l’année ?

Solution.

Appelons $x$ le temps d’écoute actuel de Lorenzo.
Avec l’offre 1, sa durée d’écoute sera de
$x \times (1,2 + 2 \cdot 1,2 \cdot 0,8 + 9) = 12,12\cdot x$.
Avec l’offre 2, elle sera de
$x \times (1,3+1,3 \cdot 0,8 + 1,3 \cdot0,8 \cdot 0,9 + 9) = 12,276 \cdot x$.
Le deuxième offre est donc celle qui permet à Lorenzo d’augmenter le plus sa durée d’écoute à l’issue de l’année.

Article édité par Equipe de la rubrique « En sortant de l’école »

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Pour citer cet article :

Vladimir Itenberg — «Linéarité 1» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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