Como aficionado de Paisajes Matemáticos, conocí conjuntos límite de grupos kleinianos leyendo el libro Indra’s Pearls, the vision of Felix Klein, por Mumford, Series y Wright.

Este libro es accesible para todos quienes tienen un nivel de matemática relativamente elemental. Hay que comprender los números complejos, pero el libro contiene incluso un pequeño capítulo acerca de este tema.

Ahí se explica cómo dos tranformaciones de Möbius pueden generar hermosas figuras, como las de aquí abajo. Estas figuras están en dos dimensiones : son dibujadas en el plano complejo, y uno puede encontrar muchos ejemplos en Internet. [1] Los ejemplos de imágenes de conjuntos límite en tres dimensiones son bastante más escasos, incluso a pesar de que Henri Poincaré ya hablaba de eso en 1883 [2]. En este artículo vamos a explorar esos conjuntos límite en tres dimensiones.

Los grupos en dos dimensiones

Para el caso de dos dimensiones, (muy) en breve, se trata de elegir dos transformaciones de Moebius.
\[f(z)=\frac{a_1z+a_2}{a_3z+a_4} ,\quad g(z)=\frac{b_1z+b_2}{b_3z+b_4}\]
donde $z=x+iy$ y los $a_i$ y $b_i$ son números complejos, y el determinante es igual a $1$, es decir $a_1a_4-a_2a_3=1$ y $b_1b_4-b_2b_3=1$ .

Es útil expresar las transformaciones en términos de matrices :
\[a=\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{matrix}\right) , b=\left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ \end{matrix}\right).\]
Para la transformación $z'=f(g(z))$ se puede hacer la multiplicación de las matrices $ab$ y tomar la matriz resultante para calcular $z'$.

Las transformaciones inversas son :
\[A=a^{-1}=\left(\begin{matrix} a_4 & -a_2 \\ -* a_3 & a_1 \\ \end{matrix}\right) , B=b^{-1}=\left(\begin{matrix} b_4 & -b_2 \\ -* b_3 & b_1 \\ \end{matrix}\right)\] y se forma palabras con las letras $a$, $b$, $A$ y $B$.

Con esas palabras, al multiplicar las matrices se transforma un punto y se dibuja el punto que resulta de eso, empleando tantas palabras diferentes como sea posible. Eso produce el conjunto límite de las dos transformaciones $a$ y $b$, que se llaman los generadores : la acción de los generadores es atraer los puntos generados por la acción de cuatro transformaciones hacia una forma geométrica que a menudo es notable.

Tomemos un ejemplo :

\[a=\left(\begin{matrix} t & - i \\ -* i & 0 \\ \end{matrix}\right) , b=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right).\]

Estas son por lo tanto las dos transformaciones generadoras, donde $a$ es la combinación de una inversión y de una traslación, y $b$ es una traslación pura. El conjunto límite para $t=2$ abajo muestra claramente la acción de $b$ (y de $B$, el inverso) como traslación según el eje $x$ : la figura se repite con período $2$. El conjunto está localizado entre dos rectas horizontales : una tiene como ecuación $y=0$ y la otra $y=2$. Esas dos rectas ¡forman parte del conjunto límite !

Se puede escribir $a$ como
\[a=f(z)=\frac{2z-i}{-iz}=2i+\frac{1}{z},\]
lo que representa una inversión [3] en relación al círculo de unidad, combinado con una traslación $2i$.

El término $\frac{1}{z}$ transforma la recta $y=2$ en un círculo cuyo centro es $(0,-0.25)$ y de radio $0,25$. La traslación de $2i$ envía ese centro hacia $(0,1.75)$ y es por lo tanto un círculo que es tangente a la recta horizontal $y=2$.

Hay que señalar que uno encuentra en el conjunto una infinidad de círculos tangentes. En efecto, se puede dibujar el conjunto límite transformando el círculo que acabamos de encontrar por todas las palabras posibles en z $a,b,A$ y $B$. Toda esas palabras son transformaciones de Möbius, y por lo tanto su producto también lo es. Esas transformaciones preservan los círculos.

La figura circular del inicio del artículo puede ser generada tomando una inversión en relación a un círculo, como se ha hecho aquí abajo con otro valor complejo, no real, de t [4]. El círculo amarillo es el círculo de inversión.

Los grupos en tres dimensiones

Para pasar a tres dimensiones, lo más simple es agregar un tercer generador $c$ que efectúa una traslación, permitiendo salir del plano de los conjuntos 2D. [5] [6] Esto evidentemente plantea un problema, ya que nuestras transformaciones $a$ y $b$ se ejercen en el plano complejo y solo utilizan los números complejos. Uno desea ahora que ellas coexistan con una transformación que hace salir del plano complejo.

La solución es pasar a los cuaterniones. Los cuaterniones son números en cuatro dimensiones : ¡una de más !

Un cuaternión se expresa así :
\[q=x+iy+jz+kw\]
con $i^2=-1$, $j^2=-1$, $k^2=-1$, $ij=k$, $jk=i$, $ki=j$, $ijk=-1$.

Lo que se va a hacer es expresar un punto $P(x,y,z)$ como un cuaternión cuya cuarta componente es nula :
\[P=x+iy+jz+k.0\]

Los tres generadores son :
\[a=\left(\begin{matrix} t & -i \\ -* i & 0 \\ \end{matrix}\right) , b=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right), c=\left(\begin{matrix} 1 & 2j \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right).\]
La transformación $c$ es entonces una traslación paralela al eje $z$.

Hay que elegir ahora para el parámetro $t$ un número que no tenga componente en $j$ :
\[t=t_x+it_y+j0+kt_w.\]
La acción de $a$ sobre el plano horizontal con $y=it_x$ consiste en transformar ese plano en una esfera que es tangente a ese plano. La transformación $A=a^{-1}$ convierte el plano $y=0$ en una esfera que es tangente a ese plano. Para construir el conjunto límite, se va a transformar una de esas esferas por transformaciones que esta vez son multiplicaciones de matrices $a, b, c, A, B$ y $C$. Evidentemente, para todas estas multiplicaciones hay que seguir las reglas de multiplicación de los cuaterniones.

Aunque se trabaje con números que tienen componentes en cuatro dimensiones, el cálculo de las transformaciones de las esferas nunca lleva a incoherencias como una esfera cuyo centro tuviera un componente no nula en $k$, por ejemplo.

Habrá un número infinito de esferas en el conjunto límite, y se podrá entonces poner en marcha un programa en el computador que no termina nunca. Sin embargo, ayuda el hecho de que $b$ y $c$ sean traslaciones que van a colocar en el plano copias de lo que se encuentra cerca del origen. Podemos por lo tanto concentrarnos en lo que ocurre cerca del origen, y al final colocar copias en el plano con las transformaciones $b$ y $c$.

Para obtener esferas del conjunto límite únicamente cerca del origen, basta con construir solo palabras que no tengan ni $b$ ni $c$ como última letra. Por ejemplo, la palabra $A^{p}b^{n}c^{m}$ (que hay que leer de derecha a izquierda).

Por otra parte, las esferas transformadas se hacen cada vez más pequeñas, y uno puede detener los cálculos cuando el radio de una nueva esfera se vuelve tan pequeño que la esfera sería invisible sobre la pantalla, incluso más pequeña que el tamaño de un pixel.

Incluso con esas limitaciones, hay que poner atención, ya que los cálculos se hacen rápidamente colosales. Supongamos que uno busca todas las esferas dadas por la palabra
\[A^{p}b^{n}c^{n}A^{p}b^{n}c^{n}A^{p}b^{n}c^{n}A^{p}b^{n}c^{n}, \]
con $p$ entre $1$ y $10$ y $n$ entre $0$ y $3$. Esto da en principio ¡más de 600 millones de esferas ! Para asegurarse de que lo que uno obtiene es simétrico se debe calcular también
\[¡ A^{p}B^{n}C^{n}A^{p}B^{n}C^{n}A^{p}B^{n}C^{n}A^{p}B^{n}C^{n} !\]

También habrá duplicaciones que son bastante fáciles de evitar (¡$b^{m}c^{n}$ da lo mismo que $b^{n}c^{m}$ !). Una última cosa simplifica los cálculos : hay una simetría entre la familia de esferas arriba y abajo, y basta entonces con calcular una de las dos con las palabras de las transformaciones y obtener la otra familia por simetría.

Después de todas esas precauciones, aquí está lo que se obtiene para $t=1.95+i0.05$ :

Se puede entonces simular la acción de $b$ y $c$ colocando copias :

...pero algunas copias no son suficientes, ya que el conjunto límite cubre todo el plano al infinito :

Está claro que las imágenes de un plano lleno con tales objetos no son muy interesantes como para explorar más a fondo. Se obtiene resultados mucho más hermosos aplicando una inversión en relación a una esfera, a todas las esferas del conjunto.

Esto genera todavía algunos problemas técnicos en la programación, ya que esferas que uno eliminaría normalmente después de las transformaciones por ciertas palabras (esferas demasiado pequeñas) pueden llegar a ser esferas que uno desea preservar, ya que se hacen más grandes a causa de la inversión.

Se trata entonces de elegir bien el centro y el radio de la esfera de inversión para obtener los objetos de abajo. (Para algunos la traslación en el plano es de $\sqrt{2}$ en vez de $2$.)

Primero con $t=2$, el equivalente 2D está al frente :

Con el mismo valor de $t$ que en el ejemplo 2D, con una esfera de inversión de radio 1 colocada en $(0,-1)$ :

Aquí hay algunos otros ejemplos :

Para una mayor colección de imágenes, se puede visitar el sitio del autor.

Para otra vista acerca de los conjuntos límite, se puede consultar este artículo.