Los decimales de pi

Piste verte Le 12 juillet 2020  - Ecrit par  François Gramain
Le 5 mars 2020  - Traduit par  Julie Levrault, Andrés Navas
Article original : Les décimales de pi Voir les commentaires
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¿Se conocen bien los decimales del número $\pi$ ?

¿Es difícil calcularlos ?

¿Es útil conocer muchos ?

Seguro ya oyeron hablar del número $\pi$. Interviene en las fórmulas que nos enseñaron en la escuela : $2\,\pi\,r$ para el perímetro de la circunferencia de radio $r$ y $\pi\,r^2$ para el área delimitada por esta circunferencia. También nos acordamos de algunas aproximaciones de este número ($3,14$ o $3,1416$ o $22/7$). Cuando era pequeño, mi maestro nos enseñó que el número $\pi$ nos permite calcular el perímetro de todas las circunferencias, sea cual sea su radio, y también el área de los círculos delimitados por estas circunferencias.

Lo más impresionante para mí fue saber que este número tiene una infinidad de decimales, y que nadie puede dar la lista o describirla.

El número $1/3$ tiene una infinidad de decimales, pero todos son iguales a 3 ; la sucesión de decimales del número
\[{2\over 7}=0,2857\,142857\,142857\dots\]
es fácil de describir : a partir del quinto dígito decimal, solo hay que yuxtaponer el mismo bloque $142857$. Mucho más tarde, aprendí que esta propiedad de ser ’’eventualmente periódico’’ caracteriza los desarollos decimales de los números racionales (las fracciones, como por ejemplo $2/7$), y que $\pi$ no es un número racional [1].

Otro número famoso es el número de Champernowne \[0,123456789101112131415161718192021\dots,\]
cuyos decimales son fáciles de describir : corresponden a la sucesión creciente de los enteros positivos. Este no es un número racional, pues su desarollo no es eventualmente periódico ; por ejemplo, aparecen sucesiones arbitrariamente largas de ceros...

En este artículo voy a intentar destruir unos mitos y hablar un poco de los decimales de $\pi$. Encontrarán las $10\,000$ primeras cifras al final del artículo.

Nacimiento de las matemáticas europeas : Grecia

Alrededor del año 600 a.C., la democracia nace en las ciudades independientes de Grecia, y simultáneamente surgen la argumentación política y lógica. De la misma manera que se necesitaba convencer a los conciudadanos mediante argumentos sólidos en el ámbito político, en materia científica no se admitía nada sin una demostración, y esto sigue siendo así en la matemática contemporánea. Si bien puede ser agradable para un matemático pensar que su disciplina nació de la democracia [2], resulta menos glorioso constatar que la argumentación lógica no pudo desarrollarse sino gracias a la esclavitud, que aseguraba a los pensadores el tiempo necesario para pensar...

Es así como Euclides publicó hacia el año 300 a.C. sus Elementos, cuya Proposición 2 del Libro XII señala : ’’los círculos son entre ellos como los cuadrados de los diámetros’’ (traducción de François Peyrard en 1819). En términos modernos, diríamos que esto significa que el $\pi$ de $\pi\,r^2$ es
independiente del radio $r$. Hacia 250 a.C., en su tratado sobre La medida del círculo, Arquímedes demuestra que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud igual a la de la circunferencia y el otro igual al del radio del círculo. En lenguaje moderno, señala que es exactamente $\pi$ quien interviene en las fórmulas $2\,\pi\,r$ y $\pi\,r^2$. Si bien todas esto es muy conocido desde hace muchísimo tiempo por usted, lo importante a señalar aquí es que una prueba existe desde tiempos remotos.

Como es habitual al hablar de números e historia de las matemáticas, debemos ser muy conscientes de que nuestros predecesores no manejaban los mismos conceptos que nosotros. La noción de número tal como la aprendemos en la escuela es más bien reciente. Antiguamente, se conocía los números enteros (1, 2, 3 etc.), pero las razones entre distintas cantidades eran entendidas como proporciones, y no como números. Acabamos de ver que Euclides no habla de $\pi$, sino de la proporción de las áreas entre círculos ; incluso, ¡él no habla de la proporción del área de un círculo respecto a la de un cuadrado !

Los historiadores remontan al Siglo 11 (y al matemático persa Omar Al-Khayyam) para situar el nacimiento de esta noción de número, la cual no vino a ser precisada sino hasta fines del Siglo 19. A modo de ilustración señalemos que, en 1509, Luca Pacioli hablaba aún de la ’’proporción divina’’, y no del ’’número de oro’’.

Así, antes de escoger un nombre para el el número $\pi$, debemos primero considerarlo como un número... La elección del nombre $\pi$ fue establecida apenas en 1706, data de la aparición de A New Introduction to Mathematics, de William Jones, y se fue estableciendo poco a poco. Por ejemplo, Leonhard Euler (1707-1783) usó las notaciones $p$ y $c$ antes de rendirse ante $\pi$. Se debe tener prudencia entonces de lo que aparece escrito a continuación a veces basado en el anacronismo que me facilita la redacción...

Las primeras aproximaciones de $\pi$

En Babilonia, hacia el año 2000 a.C., se usaba el valor aproximado $\displaystyle 3+{1\over 8}=3,125$, el cual es obtenido (si creemos en la figura trazada en una tableta de arcilla, así como a varios estudiosos de esta) al observar que el perímetro de la circunferencia es un poco más grande que el del hexágono regular inscrito en ella. Ahora bien, este último es igual a 6 veces el radio (recuerde que en la escuela se construía este hexágono haciendo cinco marcas con el compás abierto al ancho dado por dicho radio, para finalmente constatar que la distancia entre el primer y el último punto también es igual a este radio -si el procedimiento fue cuidadosamente ejecutado- ; con un compás ’’informático’’ al que se puede fijar una apertura constante, esto es mucho más fácil...).

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En Egipto, el papiro Rhind (1800 a.C.) da el valor
\[ \left({16\over 9}\right)^2={256\over 81}=3,16\dots \]
En efecto, allí se señala que el área del círculo se obtiene al tomar el cuadrado de ocho novenos del diámetro (que los especialistas llaman ’’disminución del noveno’’), lo cual se ilustra -de manera misteriosa- mediante un octógono inscrito en un cuadrado [3].

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Los Sulbasütras (India, entre 800 y 200 a.C.) dan $3,088$ para el $\pi$ de $\pi\,r^2$ y $3,2$ para el de $2\,\pi\,r$. Sin embargo, los Sulbasütras son un tratado de arquitectura religiosa que indica cómo edificar altares a partir de construcciones geométricas, y no es sino una interpretación moderna la que permite extraer de allí estos valores aproximados de $\pi$, lo cual nos remite nuevamente al anacronismo señalado más arriba.

En la Biblia, el Primer Libro de los Reyes describe el templo de Salomón, y allí se halla (en 1R 7, 23) la descripción de un gran estanque de bronce para las abluciones rituales : el latón usado por el fundidor Hiram de Tyr ’’tenía 10 codos de diámetro y era de forma circular’’ (...) ’’y un cordón de 30 codos debía dar la vuelta’’. Muy buen pretexto para reírse del Dios de los hebreos y cristianos que, aunque creó el universo, no sabía que $\pi$ no es igual a 3...

Ya en el Siglo 2 d.C., el rabino y matemático Rabbi Nehemiah es consciente de este problema y escribe que se debe tener en cuenta el espesor del bronce, de modo que es la circunferencia interna del latón la que mide 30 codos... Más tarde, muchos numerólogos han intentado reacreditar al Dios de la Biblia mediante cálculos estrambóticos, valiéndose del hecho de que las letras hebreas también representaban cifras. Sin embargo, ¿es esto un intento de rehabilitar a Dios más que de ’’probar’’ que conocía al menos dos o tres decimales de $\pi$ ? Lo más sorprendente es que este pequeño juego continúa (haga una búsqueda de ’’pi biblia’’ en internet para constatarlo) [4].

Arquímedes y sus sucesores

La idea de Arquímedes es la de encuadrar un círculo dado entre polígonos regulares inscritos y circunscritos, a los que aumenta de manera progresiva el número de lados. Así, poco a poco, estos polígonos se van ’’pegando’’ al círculo, y en el límite coinciden con este. Basta entonces con calcular los perímetros -o las áreas- de estos polígonos para obtener valores aproximados de $\pi$. Para probar que el área del círculo es $\pi\,r^2$ (¡atención al anacronismo nuevamente !), Arquímedes parte con cuadrados inscritos y circunscritos, a los que sucesivamente va duplicando el número de lados. Sin embargo, para los cálculos aproximativos, comienza con hexágonos regulares inscritos y circunscritos (ya vimos más arriba que el lado del hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, y no es muy difícil calcular el lado del hexágono circunscrito), y luego duplica el número de lados 4 veces, obteniendo así polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados. Ciertamente, es en su imaginación que hace esto : el teorema de Pitágoras le permite calcular, a partir del perímetro del polígono de partida, aquel del polígono obtenido al duplicar el número de lados, ¡y esto tan solo utilizando sumas, multiplicaciones y extracciones de raíces cuadradas ! (operaciones que sabía ejecutar). Así, concluye que $\pi$ está comprendido entre $\displaystyle {223\over 71}=3,1408\dots$ y $\displaystyle {22\over 7}=3,1428\dots$.

Por mucho tiempo, este fue el único método conocido para aproximar $\pi$, y fue universalmente utilizado : en 263, el matemático chino Liu Hui obtuvo los 5 primeros decimales de $\pi$ usando polígonos de 3072 lados. Se debe señalar, sin embargo, que él comienza probando que el área del círculo es igual al producto de la semicircunferencia por el radio de manera diferente a la de Arquímedes, dando una cota superior para el área del círculo más fina que el área de los polígonos circunscritos. Para su algoritmo de cálculo también comienza con el hexágono, pero su cota superior más precisa le permite disminuir el número de lados de los polígonos considerados [5].

Hacia 1450, Al Kashi, un matemático persa, obtuvo 16 decimales exactos de $2 \pi$ mediante polígonos de cerca de 800 000 lados. En 1593, en los países bajos, Adriaen Von Rooman calculó 15 decimales (por medio de polígonos de cerca de 1 millón de lados). Luego, en 1609, Ludolff van Ceulen (Ludolph de Cologne ; en Alemania, a veces aún se llama a $\pi$ el ’’número de Ludolph’’) obtuvo 34 décimales de $\pi$ (¡su cálculo utiliza polígonos de más de 5000000000 lados !) ; a petición de él, estos quedaron grabados en su tumba. Estos ejemplos (y otro que han quedado más en silencio) muestran que este método no es muy eficaz para calcular un número grande de decimales de $\pi$ : 3000 lados para 5 decimales, 1 millón para 15 decimales...

Las fórmulas analíticas

En el Siglo 18, con el cálculo diferencial de Newton y Leibniz, el cálculo de $\pi$ se desprende de la geometría y comienza a utilizar fórmulas analíticas, demasiado técnicas para ser desarrolladas aquí. Contentémonos con dar tan solo un ejemplo : el cuarto de $\pi$ es igual a la suma infinita
\[{\pi \over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7}+{1\over 9}-{1\over 11}+{1\over 13}-\cdots,\]
en la cual se suman los inversos de los números enteros de 4 en 4 a partir de 1 (los $4\,n+1$) y se restan los inversos de los enteros de 4 en 4 a partir de 3 (los $4\,n+3$). Un progreso notable de esta época en Europa fue el considerar estas sumas de infinitos términos y darles un sentido. Esto permitió al matemático de Mulhouse (Suiza en la época, Francia hoy) Johann Lambert [6] probar que $\pi$ no es un número racional (es decir, no es el cociente entre dos números enteros, como $\displaystyle {22\over 7}$) y, en consecuencia, que la sucesión de sus decimales no tiene periodicidad alguna.

Sin embargo, tres siglos antes, en India, el matemático Madhava (1380-1420) ya sabía trabajar con sumas infinitas, y había obtenido de esta forma 11 decimales exactos de $\pi$. ¡La caza de los decimales de $\pi$ estaba abierta !

La caza de los decimales (un breve vistazo)

Hasta la Segunda Guerra Mundial, los cálculos debieron hacerse a mano : William Shanks pasó 20 años de su vida trabajando hasta publicar, en 1874, los primeros 707 primeros decimales de $\pi$. Con tantas cifras se puede pensar en encontrar alguna regularidad : se constata que todas las cifras de 0 a 9 están representadas con una frecuencia de alrededor 1/10, salvo el 7 que es menos frecuente. Siguieron 70 años de especulación sobre esta rareza del 7, hasta la aparición del calculista D. F. Ferguson en 1946 : los primeros 710 decimales de $\pi$ dados por Shanks eran falsos a partir del 528...

A partir de 1946 los cálculos comienzan a hacerse por medio de máquinas, primero mecánicas de oficina (1120 decimales en 1948), y luego computadoras (2037 decimales en 1949). Los progresos se vuelven cada vez más rápidos : en 1973, Jean Guilloud y Martine Bouyer publican un millón de decimales de $\pi$ en un libro de 450 páginas. En 1989, los mil millones de decimales fueron alcanzados por los hermanos David y Gregory Chudnovsky, quienes sostuvieron una carrera desenfrenada con Yasumada Kanada, quien acabó imponiéndose con nada menos que 1 200 000 000 000 decimales en 2002.

Los dos últimos récords antes de 2010 datan de 2009 : en abril, Daisuke Takahashi, de la Universidad Tsukuba, obtuvo 2 600 000 000 000 decimales, y en diciembre, Fabrice Bellard obtuvo 2 700 000 000 000. Un libro estándar de la colección Bouquins (Robert Laffont) tiene un espesor de 2,7 cm para cerca de 1000 páginas que contienen cada una 50 líneas con 70 caracteres (contando los espacios), lo que da un total de 3 500 000 símbolos. Si se imprimiera en la misma colección el récord de 1989 de los hermanos Chudnovsky se necesitarían 289 volúmenes, y para cada uno de los récords de 2009 serían necesarios 20 kilómetros de estanterías...

¿ Y para qué estos cálculos ?

Claramente, nadie tiene necesidad de conocer $\pi$ con tanta precisión, ya sea un astrónomo que calcula el segundo exacto de un eclipse o el fabricante de latas de conserva que determina el diámetro de una lata de un litro o el peso del material necesario.

Sin embargo, existe una motivación : el estudio de la repartición de las cifras de la secuencia de los decimales de $\pi$. La mayoría de los matemáticos piensan que estos decimales se reparten ’’al azar’’. Ciertamente, no es un verdadero azar lo que se espera ver aparecer, pues $\pi$ tiene una definición muy precisa, pero una buena repartición es al menos esperada. Así, cada autor de un nuevo récord se encarga de verificar que la frecuencia de aparición de cada cifra es de alrededor de 1/10, que la de cada grupo de dos cifras es cercana a 1/100, etc. Usted puede verificar que su fecha de nacimiento aparece en los decimales de $\pi$ en este sitio, donde hallará, por ejemplo, que la fecha de nacimiento de Napoléon Bonaparte (15081769) se encuentra entre las posiciones $189\, 028\, 007$i y $189\, 028\, 014$, y donde hallará muchos otros datos interesantes. Otros, como los hermanos Chudnovsky, esperan hallar regularidades, motivos... pero esto no tiene sino una significación limitada pues se conoce tan solo una parte finita de la sucesión infinita de los decimales de $\pi$, es decir, 0% de dichos decimales.

Una motivación más seria para esta investigación ha sido la de testar la fiabilidad y rapidez de los computadores y, de allí, obtener argumentos publicitarios. Por ejemplo, David Bailey, quien participa de esta cacería de decimales, detectó en 1988 un bug (defecto de software o de hardware) en el supercomputador Cray-2. En su anuncio de récord, Takahashi enfatizaba la importancia de la performance del nuevo supercomputador paralelo de la Universidad de Tsukuba, que le permitió efectuar el cálculo en tan solo 70 horas.

Sin embargo, lo más importante es que, para pasar de 1 millón a billones de decimales, no se debe hacer trabajar más tiempo un computador de mayor potencia y valerse de los progresos de la tecnología... Se debe hacer progresos substanciales en informática teórica y matemáticas. En general, $\pi$ se calcula como una suma de términos que son cocientes de productos de una gran cantidad de enteros, y cada término debe ser calculado con una precisión al menos igual a la precisión buscada para $\pi$. Esto necesita una enorme capacidad de memoria, así como métodos rápidos para multiplicar o dividir grandes números enteros : el computador no usa el método que aprendimos en la escuela, sino que algoritmos que son sistemáticamente mejorados por matemáticos e informáticos. Así, por decir lo menos, resulta ridículo decir que ’’no se necesitan más matemáticos ahora que se dispone de computadores’’ (cita libre del libro La Derrota de Platón, publicado por un ex-ministro [7] encargado de la investigación científica (no puedo dar la cita exacta pues tiré a la basura aquel libro del que esperaba aprender un poco de historia de las ciencias). Es gracias a la mejora de estos algoritmos que Fabrice Bellard pudo establecer su récord anunciado el 31 de diciembre de 2009 usando un PC de ’’menos de 2000 euros’’ que calculó durante 131 días.

Se puede consultar los anuncios oficiales de los últimos récords de Kanada (aquí), Takahashi (aquí) y Bellard (aquí). En fin, para informarse sobre esta carrera por los decimales, basta con consultar ’’pi record’’ en cualquier buscador de internet.

Lo destacable de todo esto es la interacción entre la informática y las matemáticas. Por ejemplo, la informático permitió acelerar el estudio de los sistemas dinámicos que Henri Poincaré no había podido desarrollar por falta de medios apropiados de cálculo (que dan lugar además a las magníficas imágenes fractales que todo el mundo puede admirar hoy en día) [8]. Recíprocamente, los informáticos piden a los matemáticos nuevos resultados de álgebra, aritmética, lógica y combinatoria para continuar con sus investigaciones...

Señalemos finalmente que los algoritmos de multiplicación no solo sirven para calcular decimales inútiles, sino que tienen además aplicaciones importantes en el tratamiento de imágenes. En particular, sin el trabajo efectuado a lo largo de esta carrera, no tendríamos máquinas de resonancia magnética en nuestros hospitales...

Para saber más

Se puede consultar el hermoso libro de Jean-Paul Delahaye El fascinante número pi (Berlin, 2001), del cual aprendí muchísimo y que me sirvió para preparar este artículo. Un poco más técnico es la edición Spécial $\pi$ de Petit Archimède, que ahora debe hallarse tan solo en forma de CDI para escolares o en algunas bibliotecas universitarias. El sitio de internet pi314 entrega muchísima información, aunque se debe tener un poco de precaución con las interpretaciones históricas. En todo caso, su buscador le dará una cantidad increíble de enlaces con la palabra ’’pi’’ ; entre otras cosas, hallará fácilmente los $10\, 000 $ decimales del archivo a continuación :

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Post-scriptum :

Gracias al equipo de Images des Maths por sus comentarios que me obligaron a mejorar mucho la redacción de mi primer proyecto y a documentarme más. Gracias también a Étienne Ghys por su figura hecha con un compás informático...

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Se ve facilmente que el desarollo decimal de un racional es eventualmente periódico. Por ejemplo, si hacemos la división de 2 por 7, al escribir los restos sucesivos de las divisiones parciales solo pueden aparecer las cifras de 1 a 6, pues se sabe que esta división no es exacta y que los restos deben ser menores a 7. Necesariamente, en a lo más 6 divisiones, un resto debe repetirse, y a partir de ese momento las operaciones se repiten idénticamente. Probar que la recíproca es válida (es decir, que si el desarrollo es eventualmente periódico entonces el número es racional) es más delicado, y requiere dominar una técnica de sumas infinitas.

Miremos ahora el desarollo decimal de la raiz cuadrada de 2 :
\[\sqrt{2}=1,414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,209\dots\]

No hay ninguna periodicidad en estas 30 primeras cifras decimales, pero esto no es suficiente para mostrar la irracionalidad de $\sqrt{2}$ ; esto solo prueba que si $\sqrt{2}$ fuese racional, entonces su denominador sería superior, por ejemplo, a 10. Sin embargo, podemos demostrar fácilmente que $\sqrt{2}$ no es racional : si $\sqrt{2}$ fuera racional, se podría escribir como fracción ’’irreducible’’ $\displaystyle\sqrt{2}= {a\over b}$, es decir, con $a$ y $b$ enteros positivos sin factor común. Elevamos al cuadrado cada miembro de la igualdad y obtenemos $\displaystyle 2={a^2\over b^2}$. Como $\displaystyle{a^2\over b^2}$ es todavía irreducible, deducimos que $b^2=1$ y $a^2=2$. Pero el cuadrado de un entero no puede ser igual a $2$ (los cuadrados de los enteros son $1,\,4,\,9,\,16,\dots$), por lo que tenemos una contradicción. Así hemos demostrado la irracionalidad de $\sqrt{2}$. De hecho, este argumento demuestra la irracionalidad de $\sqrt{n}$ para cada entero $n$ que no es un cuadrado perfecto.

[2Esta es la tesis defendida por el historiador y helenista Jean-Pierre Vernant (1914-2007), profesor del Collège de France. Los historiadores de hoy son más prudentes : aunque constatan una concomitancia de la aparición de la democracia y la demostración matemática en Grecia, son reticentes a la hora de aventurar un lazo de causa y efecto. Se debe señalar también que aquí solo nos referimos al nacimiento de las matemáticas en Europa, y que la preocupación por la demostración ya existía en oriente, por ejemplo, en Mesopotamia.

[3Esto daría más bien $\displaystyle {28\over 9}={252\over 81}=3,11\dots$ en lugar de $\displaystyle {256\over 81}$.

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Lo anterior corresponde al área del octógono obtenido al llenar los ángulos que entran en una cruz suiza : si la cruz está formada por 5 cuadrados de largo 1, podemos transformarla en un octógono al llenar los ángulos que entran con 4 semi-cuadrados. El octógono posee entonces un área igual a 7 y aproxima a un círculo de diámetro 3, de modo que 7 está cerca de $\pi\,(3/2)^2$, por lo que $\pi$ se acerca a ${28\over 9}$. Sin embargo, es más bien osado decir que, en Egipto, para obtener una ’’fórmula más elegante’’, se reemplazó $9\times 7=63$ por $64=8^2$.

[4Como matemático y católico, es un gran placer para mí constatar que $\pi$ sirve para demostrar que la Biblia no es la palabra de Dios, y así excluir cualquier lectura fundamentalista de ella. En este mismo sentido, el cristianismo no debe ser calificado como una ’’religión del Libro’’ (como se la cataloga a menudo en los medios, a veces por filósofos o sociólogos), pues, como su nombre lo indica, se funda en la persona de Cristo (persona de la cual, por otra parte, no se tiene certeza científica de su real existencia).

[5Se cree que Liu Hui no conocía el trabajo de Arquímedes, pues sus argumentos son de naturaleza muy diferente : Arquímedes razona por el absurdo probando que el área del disco no puede ser ni más pequeña ni más grande que la del triángulo rectángulo considerado, mientras que Liu Hui utiliza un argumento directo que, en lenguaje moderno, se traduce en que el área de los polígonos inscritos es igual al producto de su semiperímetro por el radio del círculo circunscrito, lo cual se conserva en el paso al límite. El trabajo de Liu Hui muestra que, contrariamente a lo que se cree en general, las matemáticas de la China antigua involucran demostraciones. En fin, es probable que el cálculo de los primeros 5 decimales de $\pi$ no se deba al propio Liu Hui (de quien sí se sabe que obtuvo el 3,14), sino que de alguien que comentó posteriormente su obra.

[6Johann Lambert (1728-1777) es más conocido en geometría como inventor de la ’’proyección de Lambert’’ usada para los mapas. Esta fue adoptada por los artilleros en 1914 pues preserva los ángulos -contrariamente a la proyección de Bonne del estado mayor del Siglo 19-, es actualmente la proyección legal tanto en Francia como en una buena parte de Europa, y es compatible con el sistema GPS.

[7Influyente, aunque aún no ministro cuando publicó este libro.

[8A este respecto se puede consultar el artículo de Michèle Audin sobre Fatou.

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Pour citer cet article :

Julie Levrault, Andrés Navas — «Los decimales de pi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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