¿Qué es un número perfecto ?

Considere enteros estrictamente positivos : $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

Notamos que cada uno de estos números se puede escribir como el producto de dos de sus antecesores :
El número $12$, por ejemplo, se puede escribir
\[12= 3\times 4.\]
Entonces decimos que los enteros $3$ y $4$ son divisores de $12$.
¿El número $12$ admite divisores distintos a los que acabamos de mencionar ? ¡ Sí ! Ya que podemos escribir
\[12 = 2\times 6.\]
Pero también \[12=1\times 12.\]
Esto significa que $2, 6, 1$ y $12$ también son divisores de $12$.

¿Podemos encontrar otros ?
No, no hay otras formas de descomponer el número 12 en el producto de dos números enteros positivos. Entonces obtuvimos la lista de todos los divisores de 12 :
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6 \mbox{ y } 12.\]

Tenga en cuenta que cualquier número entero mayor o igual que 2 tiene al menos dos divisores : $1$ y él mismo.

Además, si tomamos como ejemplo el número $7$, vemos que no admite otra descomposición que no sea
$7=1\times 7.$
Es decir, no admite divisores distintos a $1$ y $7$.
Cualquier número que tiene exactamente dos divisores distintos ($1$ y él mismo) se llama número primo.

Recuerda que un entero que admite a $2$ como divisor se dice par mientras que los demás se llaman impares.
Los números $2,\ 4,\ 6$... son pares mientras que $1,\ 3,\ 5$... son impares.

Especifiquemos también que llamamos divisor estricto de un entero a cualquier divisor que no sea 1 ni él mismo.
Los divisores estrictos de $12$ son : $1,\ 2,\ 3,\ 4 \mbox{ y } 6.$

Veamos ahora la suma de los divisores estrictos de un número entero, comenzando con algunos ejemplos :

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox {Ejemplo de entero} & \mbox{sus divisores estrictos} & \mbox{la suma de sus divisores estrictos}\\ \hline 8&1,\ 2, \ 4 &7\\ 12&1,\ 2, \ 3,\ 4, 6&16\\ 6&1, \ 2, \ 3&6\\ \hline \end{array}\]

Se pueden observar tres casos :

• cuando el entero considerado es mayor que la suma de sus divisores estrictos, se dice deficiente ; el entero $8$ es deficiente.
• cuando es menor que la suma de sus divisores estrictos, se dice abundante ; el entero $12$ es abundante.
• cuando es igual a la suma de sus divisores estrictos, se dice que es perfecto ; todo el $6$ es perfecto.

Para resaltar mejor la especificidad de los números perfectos, tomemos un ejemplo más concreto... y más codicioso :

Tengo seis cuadrados de chocolate. Excluyendo el caso en el que me como los seis cuadrados, ¿cuáles son las posibilidades de una parte justa ?

• O le doy un cuadrito a cada uno de mis seis mejores amigos,
  
• O doy dos cuadrados a cada uno de mis tres amigos más leales,
  
• O le doy tres cuadrados a cada uno de mis dos amigos más antiguos.
  

Pero también puedo considerar una división (injusta) eligiendo a una persona en cada uno de los subgrupos anteriores y dándole la cantidad de cuadrados que le correspondían en el primer escenario : entonces le daría un cuadrado a mi mejor amigo, dos a mi amigo más fiel y tres cuadrados a mi amigo más antiguo.

¡Aunque no es equitativa, es una división perfecta !

Ahora que las presentaciones están hechas, vayamos al meollo del asunto.

’’Sucede que, así como los bellos y los perfectos son raros y fáciles de contar, mientras que los feos y malos son prolíficos, los excesos y los faltantes son muy numerosos y en gran desorden ; su descubrimiento carece de toda lógica. Por el contrario, los números perfectos se cuentan fácilmente y se suceden en un orden adecuado ; encontramos solo una entre las unidades, $6$, solo una en las decenas, $28$, una tercera bastante lejos en las centenas, $496$ ; en cuanto a la cuarta, en el dominio de mil, es cerca de diez mil, es $8128$.’’
Nicómaco de Gerase (200 D.C.)

Aprovechemos este paso atrás en el tiempo para recorrer muy brevemente la historia de las investigaciones y descubrimientos sobre este tema.

Desde la antigüedad, estos números han llamado la atención. Los pitagóricos (alrededor del 500 A.C.) los consideraban superiores a todos las demás e incluso les atribuían un carácter sagrado.
Luego, 300 años antes de nuestra era, Euclides se interesó en estos números particulares, desde un punto de vista puramente matemático, y encontró una forma de identificar números que son tanto perfectos como pares. Así obtuvo los cuatro más pequeños de ellos ; $6, \ 28, \ 496 \mbox{ y } 8\ 128$.
Y es solo 2000 años después que Euler demostró un resultado fundamental que completa el de Euclides y permite caracterizar los números perfectos pares.

Especifiquemos el contenido de su obra.

Números perfectos pares

Siguiendo los pasos de Euclides, tenga en cuenta que :
\[ 6=2\times 3= 2^1(2^2-1)\]
\[28= 4\times 7=2^2(2^3-1)\]

Sin embargo, ya hemos observado que el 6 es un número perfecto y el lector podrá convencerse de que el 28 también lo es.
Podríamos estar tentados a pensar que todos los números de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$, incluso por construcción, son perfectos. Pero esta esperanza se frustra rápidamente ;
\[2^3(2^4-1)=120 \mbox{ no es un número perfecto.}\]
De hecho, $120$ es abundante : la suma de sus tres divisores estrictos más grandes, a saber, $60, 40 \mbox{ y } 30$, ya supera los $120$.

Pero entonces, ¿cómo detectar los números perfectos entre los números de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$ ?
Euclides respondió a esta pregunta mostrando que

En los ejemplos anteriores, el término $2^2-1$, que aparece en la descomposición de $6$, es igual a $3$ ; de hecho es un número primo.
Mientras que $2^4-1$, que interviene en la descomposición de $120$, vale $15$ ; No es un número primo.

En el siglo XIX^e, Euler completó de manera crucial el resultado de Euclides al mostrar su recíproco :

Tenga en cuenta que cualquier número de la forma $2^n-1$, con $n$ entero estrictamente positivo, se llama Número de Mersenne, y cuando este número es primo, se llama Primo de Mersenne.

Así, el teorema de Euclides-Euler da una caracterización de los números perfectos pares. De hecho, encontrar uno de estos números es exactamente lo mismo que encontrar un número primo de Mersenne. Sin embargo, este problema no es tan simple como parece. De hecho, no es del todo obvio determinar si un número dado, cuando es grande, es un número primo o no.

Por eso, antes de 1950, solo se conocían los doce números perfectos más pequeños. Luego, la llegada de la computadora aceleró los descubrimientos, especialmente a partir de la década de 1990.
En la actualidad conocemos $51$ primos de Mersenne, es decir $51$ números perfectos pares. El último se encontró en diciembre de 2018 como parte del proyecto informático colaborativo GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Obsérvese, sin embargo, que lo que motiva la búsqueda de los números primos de Mersenne es, sobre todo, que juegan un papel preponderante en la familia de los números primos ; tenga en cuenta que los números primos más grandes conocidos hasta la fecha son los números primos de Mersenne.
Sin embargo, aunque sabemos por Euclides que hay una infinidad de números primos, no sabemos si ocurre lo mismo con los primos de Mersenne. Por lo tanto, no sabemos si hay infinitos números perfectos.
Estas preguntas, que han fascinado a los matemáticos durante milenios, todavía están en el centro de la investigación actual.

Para finalizar esta primera parte, descubramos los diez primeros números perfectos.

\[\begin{array}{|r|} \hline 6\\28 \\ 496 \\ 8\ 128\\ 33\ 550\ 336\\ 8\ 589\ 869\ 056\\ 137\ 438\ 691\ 328\\ 2\ 305\ 843\ 008\ 139\ 952\ 128\\ 2\ 658\ 455\ 991\ 569\ 831\ 744\ 654\ 692\ 615\ 953\ 842\ 176\\ 191\ 561\ 942\ 608\ 236\ 107\ 294\ 793\ 378\ 084\ 303\ 638\ 130\ 997\ 321\ 548\ 169\ 216\\ \hline \end{array}\]

Recorriendo esta lista, observamos que, contrariamente a lo que pensaban Nicómaco y sus sucesores del primer milenio, no existe un número perfecto con $5$ dígitos, ningún número perfecto con $6$ dígitos...

¿Y los números perfectos impares, entonces ?

Si nos referimos a Nicómaco de Gerase, ’’los números perfectos son ​​todos invariablemente pares.’’

Incluso hoy en día, los matemáticos se hacen la pregunta : ¿existen números perfectos impares ?

Y todo el trabajo realizado hasta el día de hoy conduce a la hipótesis de la inexistencia de números perfectos impares. En la segunda parte de este artículo, desarrollaremos algunas de las vías de investigación actuales en un intento de probar esta conjetura.