El asunto de los números congruentes habría sido mencionado en un manuscrito árabe del siglo X, según Dickson, lo que lo convierte en una de las más antiguas preguntas aritméticas abiertas. El problema es determinar los enteros positivos $d$, que uno llama números congruentes, para los cuales existe un triángulo rectángulo cuyos lados son todos números racionales y el área es $d$.

Aunque es simple de enunciar, la pregunta no es anodina. Tratemos de convencernos. Por ejemplo, $6$ es el área del triángulo rectángulo de lados $3, 4$ y $5$ que todo el mundo ha encontrado durante la lección acerca del teorema de Pitágoras (note que $3^2+4^2=5^2$).

Si uno analiza el número $5$ es un poco más complicado : el área del triángulo de lados $\frac{20}{3}$, $\frac{3}{2}$ y $\frac{41}{6}$ es $5$...

Después de eso, hay que reflexionar un poco antes de comprender que $3$ no es un número congruente. Por el contrario, es mucho menos evidente -salvo que se sepa mucho acerca de lo que los especialistas llaman las curvas elípticas- que $157$ es también un número congruente. ¿Por qué ? Porque el triángulo rectángulo más simple de área 157 tiene los lados
\[\frac{6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}, \frac{411340519227716149383203}{21666555693714761309610},\]
\[\frac{224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}.\]

Los números congruentes son precisamente los naturales $d$ para los cuales la ecuación
\[ d y^2=x^3-x\]
admite un número infinito de soluciones $x$ racionales.

Resultados profundos de Tunnell nos llevan a la caracterización conjetural siguiente. Supongamos que $d$ no es divisible por ningún cuadrado perfecto (aparte de $1$ por supuesto).
Se va a escribir como $N(d)$ (y respectivamente como $M(d)$) el número de soluciones naturales de :
\[ 2x^2+y^2+8z^2=d, ~{\rm y~respectivamente}~ 2x^2+y^2+32 z^2=d, ~{\rm si~ }~ d ~{\rm es~impar, }\]
\[ 4x^2+y^2+8z^2=\frac{d}{2},~{\rm y~ respectivamente}~ 4x^2+y^2+32z^2=\frac{d}{2},~{\rm si~}~ d~{\rm es~ par.}\]
Si $d$ es un número congruente, entonces se tiene la identidad
\[ N(d) = 2 M(d) \]
Recíprocamente, si una famosa Conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es verdadera para esta familia de curvas elípticas y $d$ verifica la identidad de arriba, entonces $d$ sería un número congruente. Además, se puede verificar si $d$ satisface o no esta identidad, ya que solo hay que intentar con todas las combinaciones posibles de naturales $x,y,z$ de módulo más pequeño que $\sqrt{d}$. Se pueden encontrar muchas, pero un computador no tendrá dificultades en contarlas por nosotros. Dicho esto, no siempre es conocido si todos los naturales congruentes a 5, 6 o 7 módulo 8 son congruentes...

Para saber más :

P. Colmez, Le problème des nombres congruents,
http://www.math.jussieu.fr/ colmez/congruents.pdf

N. Koblitz : Introduction to elliptic curves and modular
forms, Second edition, Graduate Texts in Mathematics, 97,
Springer-Verlag, New York, 1993