Los poliedros cíclicos

(Texto dedicado a Étienne Ghys por sus 60 años y a Bernard Teissier por sus 70 años.)

Piste rouge Le 5 juin 2015  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 6 novembre 2022  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Les polyèdres cycliques Voir les commentaires
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¿Hay poliedros convexos tales que dos vértices cualesquiera estén unidos por una arista ? En el espacio tridimensional de nuestras intuiciones cotidianas, solo los tetraedros verifican esta propiedad. Pero la situación cambia en dimensión cuatro : ¡los hay con número arbitrariamente grande de vértices ! Estos son los poliedros amigables. Los más fáciles de describir son los poliedros cíclicos, que presentaremos aquí. Descubriremos así cómo es posible pensar en objetos que viven en espacios de cuatro dimensiones por analogía con situaciones que aparecen en dimensiones más bajas.

Este es un triángulo :

Tiene tres vértices, y dos cualesquiera están unidos por un. lado

Este es un cuadrilátero :

Esta vez, hay dos pares de vértices que no están unidos por lados. Los segmentos que los unen son las diagonales del cuadrilátero. Dibujémoslas :

Esta última figura puede verse como una proyección plana de un tetraedro del espacio tridimensional. Al igual que con los triángulos, dos vértices cualesquiera de un tetraedro están conectados por una arista.

Ahora pasemos a un pentágono. De nuevo, hay pares de vértices que no están conectados por aristas. En realidad tiene cinco lados y la misma cantidad de diagonales diagonales :

¿Podemos ver esta figura como la proyección plana de un poliedro en el espacio ? Es decir, ¿existe un poliedro del que todos los pares de vértices están unidos por aristas y que, proyectado convenientemente sobre el plano, nos da un pentágono con todas sus diagonales ?

Tenga en cuenta que solo nos interesarán los polígonos y los poliedros convexos, es decir, sin partes que entran. Por ejemplo, evitaremos objetos como :

Una definición matemática posible de un conjunto convexo es la siguiente :

Definición : Un subconjunto $K$ del plano o del espacio es convexo si para cada par de puntos de $K$, el segmento que los une queda contenido enteramente en $K$.

¿Ves por qué la figura anterior no es convexa, según esta definición [1] ?

Volviendo a nuestro pentágono enriquecido con sus diagonales, resulta que no podemos verlo como una proyección de un poliedro convexo del espacio tridimensional, porque podemos demostrar lo siguiente [2] :

Proposición : Los únicos poliedros convexos en el espacio tridimensional para los que dos cualesquiera de sus vértices están conectados por aristas son los tetraedros, al igual que los únicos polígonos convexos que tienen esta propiedad son los triángulos.

Sin embargo, es posible ver el pentágono con sus diagonales como una proyección de un poliedro que vive en un espacio de dimensión cuatro : un simplejo, análogo tetradimensional de los triángulos del plano y los tetraedros del espacio de dimensión tres.

Para explorar las propiedades de los símplejos, es útil estar familiarizado con una herramienta muy importante que supera la debilidad de nuestros sentidos cuando se trata de pensar en objetos de la dimensión cuatro : las coordenadas cartesianas. Quienes no estén suficientemente familiarizados con esta herramienta pueden consultar el siguiente bloque.

Los sistemas de coordenadas cartesianas

Trabajemos en un plano por ahora. Ono puede orientarse con precisión eligiendo un punto de referencia $O$, el origen, y dos ejes perpendiculares que pasan por este punto. Acordamos en primer lugar que nos situamos en estos ejes utilizando la distancia al origen, medida positivamente hacia un lado y negativamente hacia el otro. Denotemos esta distancia algebraica (es decir, provista de un signo) por $x_1$ en un eje y por $x_2$ en el otro eje.

Ahora bien, si $P$ es cualquier punto del plano, denotemos por $P_1$ y $P_2$ sus proyecciones ortogonales sobre los ejes de $x_1$ y $x_2$. El par $(x_1, x_2)$ de las coordenadas de $P_1$ y $P_2$ en los dos ejes se llama el par de coordenadas cartesianas de $P$.

Así, cada uno de los puntos del plano tiene coordenadas cartesianas que lo caracterizan perfectamente entre todos los demás puntos. A la inversa, cada par de números reales corresponde a un punto en el plano. Esto permite llevar la geometría del plano al mundo de las relaciones algebraicas relativas a los pares $(x_1, x_2)$ de números reales... o inversamente.

Por ejemplo, se puede probar que :

  • Las rectas del plano $E^2$ corresponden a los conjuntos de pares $(x_1, x_2)$ que satisfacen una ecuación de la forma : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + b =0;\] aquí los coeficientes $ a_1, a_2, b$ son reales, y los dos primeros no son simultáneamente nulos.
  • Los dos semiplanos en los que esta recta corta al plano corresponden a los conjuntos de pares $(x_1, x_2)$ que satisfacen una de las dos desigualdades siguientes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + b < 0. \]
  • El segmento que une los puntos de coordenadas cartesianas $(x_1, x_2)$ e $(y_1, y_2)$ es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas :
    \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2),\] cuando $t$ varía de $0$ a $1$. De manera similar, si $x$ y $y$ son dos números reales, los números del segmento que los conecta son los de la forma $(1-t)x + t y$, variando el parámetro $t$ de $0$ a $1$

Pues bien, si pasamos al espacio tridimensional $E^3$ y fijamos de forma análoga un sistema de coordenadas cartesianas, obtenido eligiendo un origen $O$ y tres rectas orientadas y perpendiculares de dos en dos que pasan por este origen, entonces :

  • Los planos del espacio $E^3$ corresponden a los conjuntos de triples $(x_1, x_2, x_3)$ que satisfacen una ecuación de la forma : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 +b =0;\] aquí, nuevamente los coeficientes $a_1, a_2, a_3, b$ son reales, y los tres primeros no son simultáneamente nulos.
  • Los dos semiespacios en los que este plano corta el espacio corresponden a los conjuntos de triples $(x_1, x_2, x_3)$ que satisfacen una de las dos desigualdades siguientes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + b <0. \]
  • El segmento que une los puntos de coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$ e $(y_1, y_2, y_3)$ es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas :
    \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2, (1-t)x_3 + t y_3),\] cuando $t$ varía de $0$ a $1$.

Si comparamos lo que sucede en el plano y en el espacio de dimensión tres, vemos que esto nos lleva a declarar por analogía que en el espacio $E⁴$ de dimensión cuatro la elección de un origen $O$ y cuatro rectas orientadas perpendiculares de a pares que pasan por $O$ permiten localizar cualquier punto $P$ utilizando cuatro números $(x_1, x_2, x_3, x_4),$ sus coordenadas cartesianas. Tenemos entonces las siguientes descripciones, análogas a las dadas anteriormente :

  • Los hiperplanos del espacio $E^4$ corresponden a los conjuntos de cuádruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ que verifican una ecuación de la forma : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4 +b =0;\] de nuevo, los coeficientes $a_1, a_2, a_3, a_4, b$ son reales y no nulos simlutáneamente.
  • Los dos semiespacios de dimensión cuatro en los que este hiperplano corta el espacio $E^4$ corresponden a los conjuntos de cuádruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ que verifican una de las dos desigualdades siguientes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b <0. \]
  • El segmento que conecta los puntos de coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ e $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas :
    \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2, (1-t)x_3 + t y_3, (1-t)x_4 + t y_4),\] cuando $t$ varía de $0$ a $1$.

Ahora que sabemos qué es un segmento en la dimensión cuatro, ¡la definición de convexidad que vimos en las dimensiones $2$ y $3$ se extiende allí tal cual fue enunciada !

El concepto más importante para nosotros entre los presentados en el bloque desplegable anterior es el de hiperplano. Es un objeto en el espacio de cuatro dimensiones que es análogo a los planos del espacio tridimensional y a las líneas del plano. Pero ¿análogo desde qué punto de vista ? En primer lugar, a nivel algebraico, hay una analogía a nivel de las ecuaciones de definición : cada vez es una sola ecuación en la que las variables aparecen solas (sin multiplicarse entre ellas) y al menos una de ellas aparece efectivamente [3].

Pero también hay analogías a nivel de interpretación geométrica.
Por ejemplo :

  • un hiperplano divide el espacio $E^4$ en dos semiespacios de dimensión cuatro, del mismo modo que un plano divide un espacio de dimensión tres en dos semiespacios y una recta divide un plano en dos semiplanos ;
  • cada uno de estos semiespacios de cuatro dimensiones es convexo, así como un semiespacio tridimensional o un semiplano ;
  • dos hiperplanos distintos son paralelos o se cortan a lo largo de un plano bidimensional, al igual que dos planos del espacio tridimensional son paralelos o se cortan a lo largo de una línea recta, y dos líneas rectas en el plano son paralelas o se cortan en un punto

Estas propiedades de los hiperplanos y los semiespacios que bordean son fundamentales para comprender lo que sigue. También será muy importante haber retenido el hecho (explicado en el bloque desplegable) de que estas tres partes de un espacio de cuatro dimensiones pueden describirse algebraicamente mediante una de las siguientes condiciones :
\[ \begin{array}{l} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b = 0 \: \: \mbox{ (el hiperplano)}, \\ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b > 0 \: \: \mbox{ (primer semiespacio)}, \\ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b < 0 \: \: \mbox{ (segundo semiespacio)}, \\ \end{array} \]

Esta es una figura que ilustra la situación análoga del plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas :

Los simplejos del espacio de dimensión cuatro

Pasemos a los simplejos de cuatro dimensiones. Hemos dicho que son análogos de los triángulos del plano y de los tetraedros del espacio de dimensión tres. Una forma de convencerse de su existencia es verlos como pirámides. Entonces, en dimensiones más pequeñas :

  • un triángulo es una pirámide cuya punta es cualquiera de sus tres vértices y cuya base es el lado opuesto ; obtenemos uno cada vez que tomamos un segmento, un punto fuera de la línea que contiene el segmento, y lo conectamos por segmentos a los puntos del segmento base.
  • un tetraedro es una pirámide cuya punta es cualquiera de sus cuatro vértices, y cuya base es la cara opuesta ; obtenemos uno cada vez que tomamos un triángulo, un punto fuera del plano del triángulo, y lo conectamos por segmentos a los puntos del triángulo base.

Estas dos construcciones se ilustran en la siguiente figura :

Análogamente, un simplejo del espacio tetradimensional se obtiene al considerar un hiperplano (por lo tanto, un espacio tridimensional) dentro de un espacio tetradimensional, un tetraedro en este espacio tridimensional y un punto fuera. Conectando este punto por segmentos [4] a los puntos del tetraedro, obtenemos una pirámide de cuatro dimensiones basada en el tetraedro.

Ejemplos de estas construcciones se pueden obtener de la siguiente manera :

  • el segmento base es el segmento que conecta los puntos unidad $(1,0), (0, 1)$ en los ejes de coordenadas de $E^2$ y la parte superior de la pirámide es el origen ;
  • el triángulo base tiene como vértices los puntos unitarios $(1,0,0), (0,1,0), (0, 0, 1)$ sobre los ejes coordenados de $E^3$ y el vértice de la pirámide es el origen ;
  • el tetraedro básico tiene como vértices los puntos unidad $(1,0,0, 0), (0,1,0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1 )$ en los ejes de coordenadas de $E^4$ y el vértice de la pirámide es el origen.

La siguiente figura muestra los dos primeros ejemplos :

El último puede entenderse por analogía con los objetos de baja dimensión. Por ejemplo, ¿por qué los cuatro vértices del tetraedro están en un hiperplano ? Pues porque todos cumplen la siguiente ecuación que, como se explica en el bloque “Sistemas de coordenadas cartesianas”, es efectivamente la de un hiperplano :

\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 1 =0. \]

Ahora que ya hemos presentado los simplejos, volvamos al fenómeno en torno al cual gira este texto :

Proposición : Existen poliedros convexos del espacio tetradimensional que son diferentes de los simplejos y que tienen la propiedad de que todos sus pares de vértices están unidos por aristas. De manera más precisa, existen tales objetos con un número arbitrario de vértices mayor o igual que $6$.

La curva de los momentos y los poliedros cíclicos

El personaje clave que nos permitirá exhibir tales poliedros es una curva, llamada curva de momentos, pues las potencias de una variable nos permiten definir la noción de momento en probabilidades [5].

Definición : La curva de momentos es la curva del espacio tetradimensional $E^4$ parametrizada de la siguiente manera : \[ t \mapsto (t^1, t^2, t^3, t^4).\]

Antes de explicar cómo entra en juego, analicemos una noción fundamental para nuestro propósito, la de envoltura convexa de un conjunto de puntos :

Definición : La envoltura convexa de un conjunto de puntos $F$ de un espacio $E^n$ es el conjunto convexo más pequeño (en el sentido de la inclusión de subconjuntos de $E^n$) que contiene a todos los puntos de $F$.

Este es un ejemplo en el plano :

A la izquierda se dibuja el conjunto inicial, a la derecha se vuelve a dibujar y se superpone su envoltura convexa.

Obtenemos un polígono convexo que contiene todos los puntos del conjunto inicial, y cuyos vértices forman parte de este conjunto [6] . Esto también muestra cómo obtener muy fácilmente una plétora de poliedros convexos de dimensión cuatro : basta con darse un conjunto finito de puntos que no están ubicados en el mismo hiperplano, por ejemplo, a través de una lista de coordenadas cartesianas, y luego tomar su envoltura convexa.

Bueno, vamos a hacer eso con puntos ubicados en la curva de momentos. Y entonces sucede que :

Teorema : La envoltura convexa de un conjunto finito de al menos $5$ puntos situados sobre la curva de momentos es un poliedro convexo cuyos vértices son los puntos considerados y cuyas aristas son todos los segmentos que unen dichos puntos.

Son estos los que se denominan poliedros cíclicos [7]. ¿Por qué ’’cíclicos’’ ? Porque podemos imaginar la curva de los momentos como un hilo, y los puntos como perlas en este hilo. Entonces, cuando cerramos el collar juntando los dos extremos del hilo (se puede demostrar que, de hecho, estos dos extremos se encuentran en el infinito [8]) obtenemos perlas en un círculo, es decir, los vértices están ordenados cíclicamente.

Un precalentamiento en el plano

Una de las dificultades con las que nos encontramos si queremos probar el teorema anterior es que no sabemos ’’ver’’ de forma natural en dimensión cuatro. Esto requiere aprendizaje. Y este aprendizaje implica esencialmente
la práctica de un juego de analogías con lo que nos es familiar en
dimensiones dos y tres.

De hecho, es principalmente para explicar a los no iniciados esta manera que tienen los geómetras de ’’ver’’ en grandes dimensiones que elegí el tema de los poliedros cíclicos. Entre otras cosas, nos permiten lograr ’’ver’’ propiedades de espacios cartesianos que aparecen solo a partir de la dimensión cuatro, con las que no estamos para nada acostumbrados por los experimentos diariamente.

Para precalentar antes de subir a la dimensión cuatro, considera los polígonos cíclicos, que viven en el plano. Se definen exactamente como sus análogos de cuatro dimensiones, pero de de la curva bidimensional de momentos, la parábola, está parametrizada en coordenadas cartesianas por :

\[ t \mapsto (t^1, t^2).\]

En la figura siguiente, a izquierda están representados algunos puntos de esta parábola, y a derecha su envoltura convexa.

Es obvio que los puntos dados son exactamente los vértices de su envoltura convexa. Pero demostrémoslo de tal manera que luego podamos ir por analogía a la dimensión cuatro.

¿Cómo probar que un punto dado de un conjunto finito es un vértice de su
envoltura convexo ? Bueno, la idea básica será esta :

Proposición : Un punto $A$ de un conjunto finito $F$ de puntos del plano es un vértice de la envoltura convexa de $F$ si y solo si existe una recta que interseca a $F$ solo en $A$ y que corta al plano en dos semiplanos tales que uno de ellos contiene todos los otros puntos de $F$.

Una recta que verifica estas propiedades está ilustrada en la figura siguiente :

Es instructivo convencerse también de que tales rectas no existen
para los puntos $B$ y $C$, y que efectivamente estos puntos no son vértices de la envoltura convexa del conjunto representado.

Volvamos a nuestra parábola. Es obvio que cada una de sus tangentes
lo deja en un solo lado y lo corta solo en el punto de tangencia. Así que si
nos dan un conjunto finito $F$ de puntos de la parábola, basta tomar
en cada uno de estos puntos la tangente a la parábola, y la proposición precedente luego nos muestra que estos puntos son exactamente los vértices de su envolvente convexa.

Pero nada será tan ’’evidente’’ en la dimensión cuatro, por lo que daremos otro argumento, más algebraico, que inmediatamente se extenderá por analogía a esta dimensión.

Traduzcamos primero la proposición anterior sobre los puntos del plano utilizando un sistema de coordenadas cartesianas. Si las coordenadas del punto $A_i$ del conjunto $F$ se denotan $(x_i, y_i)$ (con $i$ variando, digamos, en el conjunto de índices $\{ 1, ..., n \}$), entonces $A_i$ es un vértice
de la envoltura convexa de $F$ si y solo si encontramos números reales $a,b,c$ tales que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a x_i + by_i + c = 0 \\ a x_j + b y_j + c > 0 \mbox{ si } j \neq i. \end{array} \right.\]

Estamos listos para probar :

Proposición : La envoltura convexa de un conjunto finito de al menos $3$ puntos situados sobre la parábola de los momentos es un polígono convexo cuyos vértices son todos los puntos considerados.

La restricción de tener al menos $3$ puntos viene del hecho de que queremos que la envoltura convexa sea realmente una figura de dos dimensiones, no un punto o un segmento.

Por definición de la parábola de momentos, existen números reales $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ tales que las coordenadas cartesianas de nuestros puntos son $(x_i, y_i) = (t_i^1, t_i^2)$.

Nos gustaría mostrar que para cualquier índice $i \in \{1, ..., n\}$, encontramos
números reales $a,b,c$ tales que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a t_i + b t_i^2 + c =0 \\ a t_j + b t_j^2 + c > 0 \mbox{ si } j \neq i. \end{array} \right. \]

Pues bien, basta escoger $a,b,c$ tales que :
\[ aX + b X^2 + c = (X - t_i)^2.\]
Es sencillo comprobar que se cumplen las condiciones anteriores [9]

Un razonamiento similar con una variable más muestra que tenemos el siguiente análogo tridimensional de la última proposición :

Proposición : La envoltura convexa de un conjunto finito de puntos situados sobre la curva de momentos parametrizada por $t \mapsto (t¹, t², t³)$ es un poliedro convexo cuyos vértices son todos los puntos considerados.

Para que esta envoltura convexa sea realmente un poliedro de dimensión tres se necesita tomar al menos $4$ puntos. Si no, obtenemos un simplejo de dimensión más pequeña : un punto, un segmento o un triángulo.

Estamos listos para razonar por analogía en dimensión cuatro. La prueba que sigue fue dada por David Gale en 1963 [10].

Una prueba del teorema sobre los poliedros cíclicos

Hemos visto cómo exhibir los vértices de la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos en el plano. La caracterización análoga es cierta también en dimensión cuatro :

Proposición : Un punto $A$ de un conjunto finito $F$ de puntos del espacio de dimensión cuatro es un vértice de la envoltura convexa $Conv(F)$ de $F$ si y solo si existe un hiperplano que interseca a $F$ solo en $A$, y que deja a todos los otros puntos de $F$ de un mismo lado. De la misma forma, dos puntos de $F$ son extremidades de una arista de $Conv(F)$ si y solo si existe un hiperplano que interseca a $F$ en esos dos puntos, y que deja a todos los otros puntos de $F$ de un mismo lado [11].

Si se tiene $n$ puntos sobre la curva de momentos, entonces se tiene números reales $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ tales que las coordenadas cartesianas de ellos son :
\[(x_i, y_i, z_i, w_i) = (t_i^1, t_i^2, t_i^3, t_i^4).\]

Tomemos dos cualesquiera de ellos que correspondan a parámetros $t_i$ y $t_j$. Definamos los números reales
$a,b,c,d,e$ por :
\[ a X + b X^2 + c X^3 + d X^4 + e = (X-t_i)^2 \cdot (X-t_j)^2.\]

Es fácil verificar nuevamente que se cumplen las traducciones siguientes de las hipótesis de la última proposición [12] :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a t_i + b t_i^2 + ct_i^3 + dt_i^4 +e =0 \\ a t_j + b t_j^2 + ct_j^3 + dt_j^4 +e =0 \\ a t_k + b t_k^2 + ct_k^3 + dt_k^4 +e > 0 \mbox{ si } k \notin \{i, j \}. \end{array} \right.\]

Un diagrama de Schlegel

La prueba anterior es lógicamente perfecta. Ella también es de gran simplicidad para alguien que ha adquirido cierta familiaridad con los polinomios. Pero puede ser frustrante para alguien a quien realmente le gusta ’’ver’’ objetos.

Por el momento he explicado cómo se podría llegar a trabajar en dimensión mayor o igual a cuatro, exportándole intuiciones primero desarrolladas en geometría del plano o del espacio. Pero resulta que uno puede lograr ’’ver’’ (en un sentido más concreto) poliedros convexos del espacio de cuatro dimensiones, a través de sus diagramas de Schlegel.

Este método de visualización ya está disponible para representar en el plano poliedros convexos del espacio tridimensional. Aquí hay, por ejemplo, diagramas de Schlegel de un tetraedro y un cubo :

La idea es imaginar que un poliedro es transparente -solo se ven sus aristas- y mirarlo a través de una de sus caras, estando lo suficientemente cerca de una para que todas las demás caras puedan verse a través de ella. El poliedro aparece entonces como una descomposición de esta cara por polígonos convexos más pequeños.

El proceso análogo realizado para un poliedro convexo de cuatro dimensiones proporciona una descomposición de una de sus caras, un poliedro convexo tridimensional, en poliedros convexos más pequeños. Se trata entonces de representar esta descomposición en un dibujo en el plano : en definitiva, un descenso bidimensional.

¿Cómo obtener diagramas de Schlegel para poliedros cíclicos ? Lo explicaré para el más simple que no es simplejo, el que tiene 6 vértices. Es por tanto la envoltura convexa de $6$ puntos elegidos en la curva de momentos. Aquí están dibujadas simbólicamente como las perlas de un collar :

El punto $\infty$, que se usa para cerrar el hilo del collar, representa el punto al infinito de la curva de momentos.

Hemos visto que todos los pares de vértices determinan una arista. Pero, ¿cuáles son los cuatrillizos de vértices que determinan una cara tridimensional -llamada faceta- del poliedro ? David Gale demostró la siguiente proposición [13] :

Proposición : Si $M_1, ..., M_n$ son los vértices de un poliedro cíclico numerados en el orden en que se encuentran sobre la curva de los momentos, entonces todas sus facetas son tetraedros, y un subconjunto de cuatro vértices forma una faceta si y solo si, al ser reagrupados en paquetes de perlas consecutivas del collar cerrado, todos los paquetes tienen una cantidad par de perlas.

En otras palabras uno tiene cuatro vértices consecutivos o dos paquetes de dos vértices consecutivos, separados por otros vértices a ambos lados de los paquetes.

La demostración sigue el mismo principio de pasar por los polinomios que se presentó anteriormente. En el último bloque desplegable, explicaremos la demostración del resultado análogo en cualquier dimensión.

En nuestro caso donde $n=6$, deducimos trabajando con la figura anterior que las facetas tienen como vértices :
\[[M_1 M_2 M_3 M_4], [M_2 M_3 M_4 M_5], [M_3 M_4 M_5 M_6], [M_1 M_4 M_5 M_6], [M_1 M_2 M_3 M_6], [M_1 M_2 M_5 M_6], \\ [M_1 M_2 M_4 M_5], [M_2 M_3 M_5 M_6], [M_1 M_3 M_4 M_6] .\]

Un diagrama de Schlegel para este poliedro cíclico corresponde por tanto a una descomposición de un tetraedro en $8$ otros tetraedros, de tal forma que sólo se han añadido dos puntos dentro del tetraedro inicial.

Este es un diagrama de este tipo, obtenido al elegir $[M_2 M_3 M_4 M_5]$ como la faceta a través de la cual mirar :

Alrededor de la figura central, que ilustra el hecho de que todos los pares de vértices están bien conectados por aristas, se representan los distintos subtetraedros de la descomposición de $[M_2 M_3 M_4 M_5]$. ¿Puedes adivinar qué regla elegí para los colores y para el diseño circular de los vértices y en morado el borde que conecta $M_1$ y $M_6$ ? [14]

Los puntos $M_1$ y $M_6$ deben colocarse convenientemente dentro del tetraedro $M_2 M_3 M_4 M_5$ para que los pequeños ocho tetraedros no se superpongan. He indicado en mi dibujo tal disposición adecuada por la forma en que los bordes pasan uno frente al otro según un cierto punto de vista. Para comprender cómo se ensamblan estos tetraedros, puede ser útil rehacer la figura central coloreando los triángulos que unen la arista $M_1 M_6$ con los vértices $M_2, M_3, M_4, M_5$ del gran tetraedro.

Las personas que realmente quieran ensamblar estos pequeños tetraedros a mano pueden hacer impresiones en 3D de ellos, inspirándose en lo que hizo Arnaud Chéritat para uno de los poliedros regulares de dimensión cuatro, el 120 [15].

Los poliedros amigables

¿Existen en dimensión cuatro otros tipos de poliedros convexos además de los cíclicos, para los cuales todos sus pares de vértices están unidos por
bordes ? Pues sí, y los que verifican esta propiedad llevan el bonito nombre de poliedros amigables [16].

Primero especifiquemos qué se entiende por tipo de un poliedro. Esta es una generalización del hecho de que todos los triángulos son del mismo tipo, así como todos los polígonos convexos con $n$ vértices :

Definición : Dos poliedros convexos son del mismo tipo si se puede hacer corresponder sus conjuntos de vértices de manera que se obtenga automáticamente una correspondencia entre sus caras de todas las dimensiones [17].

Los poliedros amigables pueden servaracterizados por la propiedad siguiente :

Teorema : Un poliedro convexo de dimensión cuatro posee a lo más tantas caras de dimensión $k \in \{1, 2 , 3 \}$ que los poliedros cíclicos del mismo número de vértices. Si se tiene la igualdad para algún $k \in \{1, 2 , 3 \}$, entonces se trata de un poliedro amigable.

De hecho, todo lo que hemos hecho en dimensión cuatro se extiende en dimensión mayor. Los poliedros cíclicos se definen de forma análoga
usando las curvas de momentos en dimensión $d$ y los poliedros amigables se definen de la siguiente manera (el símbolo $[d/2]$ designa la parte entera de $d/2$) :

Definición : Un poliedro $P$ de dimensión $d$ es dicho amigable si $k$ vértices cualesquiera de $P$ forman una cara para $k \leq [d/2]$.

Expliquemos qué significa el término cara en la definición anterior. En el plano, las caras de un polígono convexo son sus vértices (caras de dimensión $0$) y sus aristas (caras de dimensión $1$). En dimensión tres, las caras de un poliedro convexo son sus vértices, sus aristas y lo que se suele llamar sus facetas (las caras en sentido extendido, que también son de dimensión $2$). En la dimensión cuatro, tenemos el mismo tipo de caras, además de caras de dimensión $3$. Estos últimos son poliedros convexos de dimensión $3$ obtenidos como intersecciones del poliedro inicial de dimensión cuatro con un hiperplano que deja el poliedro por un solo lado. De hecho, como la noción de hiperplano se extiende en cualquier dimensión, esto proporciona una definición de caras válida en cualquier dimensión :

Definición : Las caras de un poliedro convexo son sus intersecciones con hiperplanos que dejan el poliedro de un solo lado. Sus facetas son las caras de dimensión máxima (igual a $d-1$ si el poliedro es de dimensión $d$).

La cota $[d/2]$ de la definición anterior se explica por el hecho de que si tuviéramos la misma propiedad para un determinado $k > [d/2]$, entonces el poliedro sería necesariamente un simplejo [18] Esta es la razón por la que el análogo en cualquier dimensión de la noción de poliedro amigable de dimensión cuatro no se define exigiendo únicamente que dos vértices cualesquiera estén unidos por una arista.

De hecho, se puede demostrar que todas las caras de los poliedros amigables de dimensión par son simplejos. Lo interesante es que esto no es cierto en dimensión impar. De hecho, una pirámide con un poliedro amigo como base vuelve a ser un poliedro amigo (piénsalo, es una simple consecuencia de la definición). Entonces es suficiente tomar un poliedro amigo $B$ de dimensión par $2p$ que es diferente de un simplejo. Una de las caras de esta pirámide es su base $B$, que no es simplejo.

¿Cómo describir los tipos de poliedros cíclicos ?

En general, se puede describir el tipo de un poliedro convexo dando una lista de vértices y luego diciendo qué subconjuntos de esta lista constituyen los vértices de una faceta. De hecho, entonces se obtienen automáticamente los conjuntos de vértices que corresponden a todas las caras de menor dimensión tomando todas las posibles intersecciones de los conjuntos de vértices que corresponden a las facetas.

Gale demostró la siguiente caracterización de subconjuntos de vértices facetados para poliedros cíclicos de cualquier dimensión :

Proposición : Sean $M_1, ..., M_n$ los vértices de un poliedro cíclico de dimensión $d$, numerados en el orden en que aparecen en la curva de momentos. Todas sus facetas son simplejos, y un subconjunto $S$ de $d$ vértices forma una faceta si y solamente si se verifica la condición de paridad de Gale siguiente : entre dos vértices cualesquiera que no están en $S$ hay una cantidad par de elementos de $S$.

Es fácil convencerse de que en dimensión cuatro (y más generalmente, en cualquier dimensión par), esta afirmación es equivalente a la dada en la sección anterior. Como consecuencia del teorema, todos los poliedros cíclicos de dimensión $d$ y número de vértices $n$ son amigables y del mismo tipo.

Una prueba de la condición de paridad de Gale

Si el primer bloque desplegable estaba dirigido a personas que no están familiarizadas con las coordenadas cartesianas, este está dirigido a aquellos que no solo han aprendido a pensar fácilmente en términos de tales coordenadas, sino que también conocen las propiedades básicas de los polinomios con coeficientes reales.

Considere la curva de momentos en el espacio de dimensión $n$, dotado de coordenadas cartesianas $(x_1, ..., x_n)$. Ella está parametrizada por
$x_i = t^i$ para todo $i \in \{1, ..., n \}$. Tomemos $n$ puntos $M_1, ..., M_n$
en ella que correspondan a parámetros $t_1 < \cdots < t_n$, y denotemos $Q$ al poliedro cíclico $\: Conv(M_1, ..., M_n)$.

Supongamos que $D \subset \{1, ..., n \}$ es el conjunto de índices de una faceta de $Q$. Existen entonces números reales $\: a_0, a_1, ..., a_d$ tales que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a_0 + \sum_{i=1}^d a_i t_l^i =0 \: \mbox{ para todo } l \in D ; \\ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i t_k^i >0 \: \mbox{ si } k \notin D. \end{array} \right.\]

En otros términos, el hiperplano $H$ de ecuación :
\[ a_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_d x_d =0\]
contiene los puntos $(M_l)_{l \in D}$ y todos los otros puntos
$M_k$ se hallan del mismo lado de este hiperplano, aquel donde la función $ a_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_d x_d$ toma valores estrictamente positivos.

El polinomio no nulo :
\[P(X) = a_0 + \sum_{i=1}^d a_i X^i \]
tiene grado a lo más $d$, por lo que admite no más de $d$ raíces. Pero hemos supuesto que se anula en los parámetros $t_i$ con $i \in D$, que corresponden a los vértices de una faceta de $Q$. Esta tiene dimensión $d-1$, por lo que tiene al menos $d$ vértices. Se deduce entonces :

— por una parte, que posee exactamente $d$ vértices, por lo que la faceta es un simplejo ;

— por otra parte, que las raíces del polinomio $P(X)$ son precisamente los parámetros $t_i$ con $i \in D$, por lo que son todas simples ; en particular, la función polinomial $P(t)$ cambia de signo cuando el parámetro $t$ atraviesa una de ellas.

Si ahora $\: t_j < t_k$ son parámetros que no corresponden a los vértices anteriores (es decir, tales que $j$ y $k$ no pertenecen al conjunto $D$), la segunda ecuación del sistema de arriba muestra que el polinomio es estrictamente positivo en $t_j$ y en $t_k$. Ahora imagina que $t$ aumenta de $t_j$ a $t_k$. Acabamos de ver que cada vez que cruzamos una raíz, la expresión cambia de signo. Esto impone que tengamos un número par de raíces entre $\: t_j$ y $\: t_k$.

Esta demostración se ilustra en la siguiente figura, en la que vemos la curva de momentos que cruza un número par de veces el hiperplano $H$ entre $\: M_j$ y $\: M_k$.

Recíprocamente, supongamos que $D $ es un subconjunto cualquiera de $d$ elementos de $\{1, ..., n \}$. Definamos los números reales $a_0, ..., a_d$ por :
\[ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i X^i = \prod_{k \in D} (X-t_k).\]
Por un argumento parecido al anterior se ve que la condición de paridad asegura que el hiperplano definido por la ecuación :
\[ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i x_i = 0\]
pasa por los puntos $(M_k)_{k \in D}$ y deja los otros del mismo lado. Los puntos $(M_k)_{k \in D}$ no están situados en un espacio de dimensión más pequeña, pues el hiperplano que los contiene está definido de manera única (esto significa que existe un único polinomio unitario de grado $d$ del cual son raíces). Por lo tanto, los puntos son vértices de una cara de dimensión $d-1$ de $Q$.

Hay un recíproco cuando el número de vértices excede ligeramente la dimensión : si $n \leq d + 3$, entonces todos los poliedros amigables de dimensión $d$ en $n$ vértices necesariamente tienen el tipo de un poliedro cíclico. [19]

Pero esto cambia tan pronto como $n$ excede $d +3$. Por ejemplo, hay exactamente $2$ tipos de poliedros convexos con $8$ vértices en el espacio de cuatro dimensiones que son diferentes de los poliedros cíclicos [20]. Con $9$ vértices hay $22$ de este tipo, y con $10$ hay $430$. En realidad [21], en cualquier dimensión par $d$, el número de tipos de poliedros amigables con vértices $n$ (incluidos los poliedros cíclicos) es al menos igual a :
\[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot M(n,d) ) , \: \: donde \: \: M(n,d) := \left(\frac{d}{2} -1\right) \left[\frac{n-2}{d+1} \: \right] .\]

El rápido crecimiento de esta secuencia de números con $n$ explica en parte por qué todavía no sabemos cómo describir todos los tipos de poliedros amigables.

Pero, ¿por qué son importantes los poliedros amigables ? Por ejemplo, debido a la siguiente caracterización obtenida en 1970 por Peter McMullen [22], de la que la anterior en dimensión cuatro es solo un caso especial :

Teorema : Un poliedro convexo de dimensión $d$ tiene como máximo tantas caras de dimensión fija $k$ como los poliedros cíclicos de la misma dimensión que tienen el mismo número de vértices. Si tenemos igualdad para algún $k \geq [d/2]-1$, entonces es un poliedro amigable  [23].

Espero que mis explicaciones te hayan despertado las ganas de entrar en el
círculo de amigos de poliedros amistosos, e incluso en el círculo más restringido de poliedros
¡cíclico !

Para ir más lejos

Se puede hallar más información sobre los poliedros cíclicos o, más generalmente, sobre los poliedros convexos de dimensión arbitraria, en las referencias siguientes :

  • A. Barvinok : A course in convexity. AMS, 2002.
  • A. Brøndsted : An introduction to convex polytopes. Springer, 1983.
  • G. Ewald : Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, 1996.
  • B. Grünbaum : Convex polytopes. Deuxième Édition, préparée par V. Kaibel, V. Klee, G.M. Ziegler. Springer, 2003.
  • J. A. De Loera, J. Rambau, F. Santos : Triangulations. Springer, 2010.
  • G. M. Ziegler : Lectures on polytopes. Springer, 2007.
Post-scriptum :

Me gustaría agradecer a Marie Lhuissier y Olga Romaskevich por la invitación para hablar en el Seminario de relajación matemática del MMI en Lyon. Fue en esta ocasión que se me ocurrió hablar de poliedros cíclicos. Construí este artículo a partir de las notas que había escrito para preparar mi presentación del 14/01/2015 para este seminario. También me inspiré en este libro de ruta, animadas notas tomadas por Marie Lhuissier durante mi charla. Muchas gracias a Vincent Beck, Serge Cantat, Clément Caubel, Aziz El Kacimi, Antonin Guilloux, Marie Lhuissier y Rémi Molinier por sus juiciosas observaciones que me permitieron aclarar algunos pasajes de mi artículo.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Basta con tomar un punto situado en lo alto de la torre izquierda y otro situado en lo alto de la derecha : el segmento que los une sale de el poliedro.

[2En el plano podemos demostrar este hecho partiendo de un triángulo, luego observando lo que sucede si agregamos un punto en una de las $7$ regiones en las que el plano está dividido por las rectas que contienen los lados del triángulo. Un razonamiento análogo es posible en el espacio tridimensional.

[3Entonces decimos que son ecuaciones polinómicas de grado $1$.

[4Podemos ver en el bloque de coordenadas cartesianas que esto tiene un significado también en dimensión cuatro.

[5Se trata también de una presentación en una carta afín de la curva racional normal de grado $n$. Una generalización reciente de esta curva es esencial en el enfoque de la teoría de la eliminación presentado en el libro Discriminants, resultants and multidimensional determinants de Israel Gelfand, Mikhail Kapranov y Andrey Zelevinsky publicado por Birkhaüser en 1994. Allí se fija un conjunto finito de monomios $t^{m_1}, ..., t^{m_p}$ y una cantidad finita de variables $t_1, ..., t_d$ (la notación $t^{m_k}$ es una abreviación del monomio $t_1^{m_{k,1}} \cdots t_1^{m_{k,d}}$) y se considera la parametrización $t \mapsto (t^{m_1}, ..., t^{m_p})$.

[6Esta propiedad caracteriza en todas las dimensiones la envolvente convexa de un conjunto finito.

[7Para obtener información sobre las personas que redescubrieron los poliedros cíclicos en varios momentos a lo largo del siglo XX, consulte la Sección 7.4 del libro de Grünbaum citado en la bibliografía.

[8Sobre este tema podemos leer este artículo de Christine Huyghe y este de Erwann Brugallé y Julien Marché, quienes explican cómo un plano euclidiano puede completarse con una línea en el infinito De manera similar, un espacio euclidiano tridimensional puede completarse con un plano infinito y otro de dimensión cuatro puede ser completado por un hiperplano en el infinito de dimensión 3. Se prueba que si tendemos al infinito a lo largo de la curva de los momentos en cualquier dirección, entonces nos acercamos al mismo punto en el hiperplano en el infinito.

[9De hecho, si $a,b,c$ están definidos por la ecuación $ aX + b X^2 + c = (X - t_i)^2$, entonces la recta de ecuación $a x_1 + b x_2 + c =0$ es la tangente a la parábola en el punto de coordenadas $(t_i, t_i^2 )$. Por lo tanto, encontramos el carácter clave del razonamiento geométrico descrito anteriormente (dejamos la comprobación de esto al lector interesado).

[10En Neighborly and cyclic polytopes. Actes du congrès Convexity, Seattle, 1961, editor V. Klee, Symposia in Pure Mathematics 7, American Mathematical Society, 1963, 225-233. El lector curioso de descubrir otra contribución de David Gale puede leer este artículo de Jérôme Buzzi.

[11Más generalmente, si un hiperplano contiene un subconjunto $G$ de $F$ y deja todos los otros puntos de $F$ de un mismo lado, entonces la envoltura convexa de $G$ es una de las caras de la envoltura convexa de $F$.

[12Las dos primeras igualdades provienen del hecho de que el producto $(X-t_i)^2 \cdot (X-t_j)^2$ se anula en $t_i$ y $t_j$. La última desigualdad proviene del hecho de que este producto es estrictamente positivo para todo otro valor real de $X$.

[13En el artículo citado anteriormente.

[14Los dos tetraedros pequeños situados en la vertical que pasa por el centro del dibujo son aquellos cuyas aristas situadas en el interior del grande son rojas. De igual forma, en la horizontal tenemos los dos pequeños tetraedros cuyas aristas internas son azules. Luego, en diagonal entre un tetraedro cuyos bordes interiores son rojos y otro cuyos bordes interiores son azules, coloqué el único tetraedro que comparte una cara con cada uno de ellos.

[15Atención, la descomposición impresa en 3D por Chéritat no es un diagrama de Schlegel, porque, como explica en su nota 1, ’’cada poliedro de sombra es la proyección de dos celdas, y las 30 restantes son planas (porque son perpendiculares al espacio 3D hacia el que proyectamos). Esto es análogo a lo que sucede cuando proyectas (ortogonalmente) un cubo en un plano paralelo a una de sus caras’’.

[16Se llaman polítopos vecinos en inglés.

[17Se trata evidentemente de una correspondencia biyectiva.

[18Por esta propiedad, así como para otras informaciones concernientes a los poliedros amigables que enunciamos aquí sin demostraciones, se puede consultar el Capítulo 7 del libro de Grünbaum citado al final del artículo.

[19Este hecho fue demostrado por Gale en el mismo artículo.

[20Un ejemplo se describe en la Sección 7.2 del libro de Grünbaum. La manera de ver que no es cíclico es exhibir una arista que está contenida exactamente en $5$ facetas. Tal arista no existe en el poliedro cíclico de cuatro dimensiones con $8$ vértices.

[21Este es un resultado de Ido Shemer, mencionado en la sección 7.5 del libro de Grünbaum. Fue publicado en el artículo Neighborly polytopes. Israel J. Matemáticas. 43 No. 4 (1982), 291-314.

[22En The maximal number of faces of a convex polytope. Mathematika 17 (1970), 179-184.

[23También hay una caracterización de poliedros cíclicos, pero esta es más complicada : un poliedro es cíclico si y solo si se alterna su matroid orientado. Para más detalles sobre este hecho, se puede consultar el libro Oriented Matroids de Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White y Günter Ziegler, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 46 (2nd ed. .). Cambridge University Press, 1999. ¡Gracias a Raman Sanyal por esta información !

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Los poliedros cíclicos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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