Los polígonos desencadenados y el problema de los n cuerpos

Hors piste Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Alain Chenciner
Le 12 mai 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Les polygones déchaînés et le problème des n corps Voir les commentaires
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La riqueza de la solución más trivial del problema de los n cuerpos - el equilibrio relativo de n masas iguales dispuestas en los vértices de un polígono regular- se revela si uno observa globalmente y en un sistema referencial que gira las familias de soluciones cuasiperiódicas que se bifurcan en la dirección normal al plano del polígono. Técnicamente, el estudio de esta prolongación global se hace minimizando la acción bajo una limitación de simetría.

El problema de los n cuerpos

Determinar los movimientos en el espacio de n masas puntuales que ejercen una sobre otra una fuerza de atracción proporcional al producto de sus dos masas e inversamente al cuadrado de sus distancias. Tal es el ’’Problema de los n cuerpos’’, parangón de los sistemas ’’no integrables’’ de la mecánica clásica desde que $n\ge 3$.

No fue sino varios años después de los Principia de Newton que las ecuaciones del movimiento fueron escritas bajo la forma como uno las conoce hoy en día : para $j=1,\ldots,n,$

\[\begin{equation}m_j\ddot{\vec r_j}=\sum_{k\not=j}{m_jm_k\over |\vec r_k-\vec r_j|^3}(\vec r_k-\vec r_j)={\partial U\over\partial{\vec r_j}}(\vec r_1,\ldots),\label{*}\end{equation}\]

donde $\vec r_j\in \mathbb{R}^3$ y $m_j>0$ son la posición y la masa del j-ésimo cuerpo,

\[ U(\vec r_1,\ldots,\vec r_n)=\sum_{j < k=1}^n{m_jm_k\over|\vec r_k-\vec r_j|} \]
y donde, siguiendo la costumbre de los mecánicos, un punto designa la derivada temporal.
La adición de esas ecuaciones da
$\sum_{j=1}^n{m_j\ddot{\vec r}_j}=0$, que expresa que el centro de gravedad
$\vec r_G=(\sum_{j=1}^n{m_j})^{-1}\sum_{j=1}^n{m_j\vec r_j}$ tiene un movimiento rectilíneo uniforme :
$\ddot{\vec r_G}=\vec 0$. Se elegirá una referencia galileana
en la cual $\vec r_G\equiv\vec 0$.

El polígono regular

Cuando las masas de todos los cuerpos son las mismas (digamos iguales a 1) existe para todo número real positivo $r$ una única frecuencia $\omega=\omega(r)$ tal que el movimiento de abajo sea una solución periódica de período $T=2\pi/\omega$ de $\ref{*}$ (se ha identificado
$\mathbb{R}^2$ en el plano complejo y definido $\zeta=e^{2\pi i/n}$) :
\[x(t)=(\vec r_1(t),\vec r_2(t),\ldots,\vec r_n(t)),\;\vec r_j(t) = \zeta^jre^{\omega t}.\]
En efecto, la atracción que se ejerce sobre el cuerpo $j$ en un instante cualquiera es dirigido según el vector
$\vec r_j$ ya que ese vector lleva un eje de simetría del polígono.
Además, la intensidad de esta fuerza es constante e independiente de $j$. Dicho de otra forma, $\ddot{\vec r_j}(t)=-\omega(r)^2\vec r_j(t)$, lo que demuestra la aserción.

Estas soluciones son los ejemplos más simples de equilibrios relativos, es decir, movimientos en el curso de los cuales la configuración gira rígidamente como un cuerpo sólido a velocidad angular uniforme. La existencia de una forma es lo que distingue ante todo el problema de los tres (o $n\ge 3$) cuerpos del problema de los dos cuerpos, y no es un azar si las únicas soluciones explícitas del problema de los 3 cuerpos son las soluciones homográficas -descubiertas por Euler y Lagrange- en las cuales ... los tres Cuerpos podrían moverse de manera que sus distancias fuesen siempre constantes, o guardasen al menos entre ellas relaciones constantes (Lagrange, Avertissement de l’Essai sur le Problème des trois Corps, 1772). Íntimamente ligadas a las simetrías del problema (traslación, rotación) y a la homogeneidad de la fuerza newtoniana, estas soluciones pueden existir sólo para configuraciones muy especiales, llamadas hoy en día configuraciones centrales, aquéllas para las cuales la configuración de las fuerzas es proporcional a aquélla de los cuerpos. Su determinación cuando hay más de tres cuerpos es un problema mayor, pero sólo va a interesarnos el caso ’’trivial’’ de un polígono regular formado por masas iguales. Notemos que, cualquiera que sea el número de cuerpos, un movimiento de equilibrio relativo en $\mathbb{R}^3$ ocurre necesariamente en un plano fijo. Combinadas a las fuerzas centrífugas, las fuerzas de atracción tienden en efecto a aplastar la configuración. Esto deja de ser cierto en $\mathbb{R}^4$, donde un equilibrio relativo posee dos ejes de rotación ortogonales.

Minimizar la acción

Las soluciones de $\ref{*}$ son exactamente los puntos críticos de la acción lagrangiana que, a un camino $[0,T]\ni t\mapsto x(t)=\bigl(\vec r_1(t),\ldots,\vec r_n(t)\bigr)$, hace corresponder la integral

\[{\cal A}(x)=\int_0^T{\left[{1\over 2}\sum_{j=0}^n{m_j||\dot{\vec r_j}||^2}+U\bigl(x(t)\bigr)\right]dt}.\]

Esto significa que $x(t)$ es solución de $\ref{*}$ si y solamente si la variación
${\cal A}(x+\delta x)-{\cal A}(x)$ de la acción es de ’’segundo orden’’ en relación a una variación $\delta x(t)$ del camino $x(t)$ fijando sus extremos : es el Principio de mínima acción. Tomado al pie de la letra, este principio hace buscar las soluciones no solamente como puntos críticos, sino más exactamente como mínimo de la acción. Es -excepto el reemplazo de la longitud por la acción- la manera en la cual los geómetras buscan una geodésica cerrada de un hiperboloide de una capa como una curva de longitud lo más pequeña posible entre aquéllas que ’’dan la vuelta’’ al agujero (figura 1).

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Una geodésica minimizante

Siendo la acción de arriba siempre positiva, tiene sentido buscar las soluciones periódicas de período establecido $T$ de $\ref{*}$ que minimizan la acción entre los $x(t)$ periódicos de período $T$ (que se llamarán ’’lazos’’ de configuraciones de período $T$). Uno puede incluso esperar que las llamadas soluciones sean ’’las más simples’’. Un teorema famoso de Tonelli -que data de alrededor de 1925, junto a un resultado de Weierstrass- afirma la existencia de un mínimo regular, con la condición de que sean satisfechas las hipótesis llamadas de coerción, que aseguran que un mínimo no puede encontrarse ’’en el infinito’’ (figura 2).

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Desafortunadamente, es exactamente eso lo que ocurre en nuestro caso : el mínimo absoluto de la acción, igual a cero, se alcanza por cuerpos en reposo infinitamente alejados unos de otros. Eliminar ese problema exige que uno se restrinja a una clase de lazos sometidos a ciertas limitaciones, y se piensa primero en limitaciones ’’topológicas’’ como en el ejemplo de las geodésicas del hiperboloide. Sin embargo, como Poincaré lo subrayó ya en una nota de 1896 [P], la debilidad de la fuerza newtoniana hace que la minimización bajo tales limitaciones conduzca muy a menudo a soluciones ’’con colisiones’’. Por fortuna, no pasa lo mismo con limitaciones de simetría. El ejemplo más simple es la limitación de simetría italiana : $x(t+T/2)=-x(t)$. Introducida en los años 80 para restaurar la coercitividad -si un cuerpo se aleja, el lazo será grande ya que ese cuerpo debe, al cabo de un semiperíodo, ocupar una posición simétrica en relación al origen : la parte cinética de la acción será por lo tanto también grande-, excluye también la posibilidad de colisiones : esto resulta de la ausencia de colisiones en los mínimos de la acción con extremos establecidos, un teorema notable de Christian Marchal ([C1]).

Donde no aparece nada nuevo

Busquemos entonces, en el caso de tres o cuatro masas iguales, las soluciones de $\ref{*}$ que minimizan la acción entre los lazos de configuraciones que, por una parte, habitan en el plano fijo, y por otra parte, verifican la simetría italiana. De un trabajo con Nicole Desolneux resulta que los únicos mínimos son, respectivamente, el equilibrio relativo del triángulo equilátero y el del cuadrado. Esto deriva de que esas dos configuraciones minimizan la función $U$ entre las configuraciones planas de tamaño establecido (técnicamente : entre las configuraciones planas de momento de inercia $I$ en relación al centro de gravedad fijado). Si se admite las configuraciones espaciales de cuatro cuerpos, es el tetraedro regular quien minimiza $U$ con $I$ establecido, pero hemos insistido al final del párrafo 2 que este último no tiene movimiento de equilibrio relativo en $\mathbb{R}^3$. Por el contrario, en $\mathbb{R}^4$, sí es tal movimiento el que minimiza la acción entre los lazos de configuraciones de cuatro cuerpos con simetría italiana. En conclusión, la minimización bajo limitación de simetría italiana no entrega nada nuevo para 3 o 4 cuerpos de igual masa en el plano o en $\mathbb{R}^4$.

El Ocho y el Hip-Hop

Para encontrar ’’nuevas’’ soluciones periódicas por minimización, había entonces que enriquecer el grupo de simetría, o bien pasar del plano al espacio. El recuadro describe un ejemplo de cada tipo :

i) pasando, para tres cuerpos, del grupo con 2 elementos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ al grupo diedral $D_6$ con 12 elementos, que es el grupo de las simetrías del ’’espacio de los triángulos’’ [C2], se obtiene una solución en la cual los cuerpos se siguen a intervalos de tiempo iguales a lo largo de una curva plana en forma de ocho ;

ii) por el contrario, conservando para 4 cuerpos la simetría italiana y su grupo de dos elementos pero minimizando la acción entre todos los lazos de configuraciones en el espacio en tres dimensiones, se obtiene el ’’Hip-Hop’’ [C1], cuya configuración pasa continuamente del cuadrado al tetraedro regular.

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El ’’ocho’’, mínimo para la simetría $D_6=\left\{g_1,g_2|\, g_1^6=g_2^2=1,\,g_1g_2=g_2g_1^{-1}\right\} :$
$g_1\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t)\bigr)=\bigl(-\bar x_3(t-\frac{T}{6}),-\bar x_1(t-\frac{T}{6}),-\bar x_2(t-\frac{T}{6})\bigr),$
$g_2\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t)\bigr)=\bigl(-x_1(\frac{T}{2}-t),-x_3(\frac{T}{2}-t),-x_2(\frac{T}{2}-t)\bigr).$
La secuencia exacta $1 \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to D_6\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 1$, en la cual $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ es generado por $g_1^2$, implica que un lazo de configuraciones $D_6$-invariante es una coreografía (los cuerpos experimentan una permutación circular al cabo de un tercio de período) llevada por una curva simétrica en relación a los dos ejes.
La figura está hecha en $\mathbb{R}^2\equiv \mathbb{C}$.

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El ’’Hip-Hop’’, mínimo para la simetría italiana $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{g_1\} :\; g_1\bigl(x(t)\bigr)=-x(t-\frac{T}{2})$, lo es también para la simetría $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{g_1,g_2\}$ :
$g_2\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t),x_4(t)\bigr)=\bigl(\rho x_4(t),\rho x_1(t),\rho x_2(t),\rho x_3(t)\bigr),$ donde $\rho$ es la isometría de $\mathbb{R}^3$ definida por $\rho(u,v,w)=(-v,u,-w)$. El Hip-Hop es una transición entre el equilibrio relativo del cuadrado en $\mathbb{R}^2$ y aquél del tetraedro regular en $\mathbb{R}^4$. La figura está hecha en $\mathbb{R}^3$.

Lo que sigue mostrará que esas soluciones no eran, en cierto sentido, tan ’’nuevas’’ como parecían.

Los polígonos se desencadenan

(i) La ecuación a variaciones verticales. La longitud de un segmento de recta no cambia al primer orden bajo influencia de variaciones ortogonales de sus extremos. Esta notable consecuencia del teorema de Pitágoras implica una escisión de la ecuación a variaciones de una solución plana en una parte horizontal y una parte vertical : si $x(t)$ es solución de $\ref{*}$, $x(t)+\epsilon y(t)$, donde $y_j(t)=(0,0,z_j(t)),\, j=1,\ldots,n,$ es solución salvo segundo orden en $\epsilon$ si $z=(z_1,\ldots,z_n)$ verifica la ecuación a variaciones verticales
\[\begin{equation}\ddot z_j=\sum_{k\not=j}{m_jm_k\over |\vec r_k(t)-\vec r_j(t)|^3}(z_k-z_j)\, ,\quad j=1,\ldots,n.\label{VVE}\end{equation}\]

Para un equilibrio relativo, los coeficientes son independientes del tiempo ; además, se muestra fácilmente que, después de eliminar la simetría de traslación exigiendo que $\sum{m_jz_j=0}$, las soluciones son combinaciones de soluciones de la forma $z(t)$=Re$(Ze^{i\omega_jt})$, donde $Z$ es un vector propio complejo de valor propio $-\omega_j^2$ de la matriz que define el segundo miembro de $\ref{VVE}$. En el caso de masas iguales sobre un polígono regular, las ’’frecuencias verticales’’ $\omega_j$ pueden ser calculadas explícitamente en funciones de las longitudes de las diagonales del $n$-gono regular. En particular, $\omega_1$ es la frecuencia del equilibrio relativo considerado. Si $n=3$, sólo hay una frecuencia $\omega_1$ ; si $n=4$, hay dos, $\omega_1$ y $\omega_2=\left(2\sqrt{2}/\sqrt{4+\sqrt{2}}\right)\omega_1$.

(ii) Las familias de Liapunov. El paso al cociente por las rotaciones transforma un equilibrio relativo en un equilibrio. Lo que se ha dicho de la ecuación en variaciones verticales se traduce en la existencia, para el campo de vectores cociente linearizado en este equilibrio, de una descomposición del espacio de las ’’fases verticales’’ (los $(z,\dot z)$) en suma directa de subespacios de dimensiones pares completamente laminados en soluciones periódicas. En general, se puede mostrar mediante técnicas clásicas de formas normales la existencia local de superficies formadas por soluciones periódicas de las ecuaciones, llamadas familias de Liapunov. El período varía en general en una familia así, pero utilizando el hecho de que si $x(t)$ es una solución de $\ref{*}$, también lo es $x_\lambda(t)=\lambda^{-{2\over 3}}x(\lambda t)$, se deduce la existencia local de familias de soluciones en período constante $T$. Notemos que la demostración de la existencia de esas familias se complica por la existencia de resonancias con otras frecuencias, verticales u horizontales.

(iii) Los referenciales que giran. Una manera de ’’pasar al cuociente por las rotaciones de eje vertical’’ consiste en permitir rotaciones horizontales del sistema referencial. Una solución periódica de las ecuaciones después del cociente (las ecuaciones reducidas) aparecerá como cuasiperiódica en el referencial inercial, pero se volverá periódica en un referencial bien elegido que da vueltas.

Simetrías y bifurcaciones

Consideremos por tanto una solución de equilibrio relativo del problema de n cuerpos que se vuelve periódica en un referencial que gira, cuya velocidad de rotación $\varpi$, que se supone uniforme, va a jugar el rol de parámetro. Si $a_C$ es la acción del equilibrio relativo $x_C(t)=Ce^{2\pi it}$ de período mínimo igual a 1, la acción del equilibrio relativo correspondiente al período
$T$ es $a_CT^{1\over 3}$, y la del equilibrio relativo que recorre $q$ veces el círculo durante el período $T$ es $q\times a_C({T\over q})^{1\over 3}=a_Cq^{2\over 3}T^{1\over 3}$. Escribamos $A_C(q,T,\varpi)$ la acción sobre un intervalo de tiempo $T$ de la solución de equilibrio relativo $x_{C,q}^{T,\varpi}(t)$ de configuración normalizada $C$ que, en un referencial que gira con frecuencia $\varpi$ en el sentido opuesto a su movimiento, recorre $q$ veces el círculo durante el tiempo $T$. Una solución tal es de la forma $x_{C,q}^{T,\varpi}(t)=\lambda^{-{2\over 3}}x_C(\lambda t)=\lambda^{-{2\over 3}}Ce^{2\pi\lambda it}$. Ya que en el referencial móvil se convierte en
$\lambda^{-{2\over 3}}Ce^{({2\pi\lambda+\varpi})it}$, $\lambda$ debe ser tal que
$(2\pi\lambda+\varpi)T=2\pi q$, es decir, $\lambda T=q-{\varpi\over \omega}$ si se denota $\omega={2\pi\over T}$.
Por lo tanto,
\[A_C(q,T,\varpi)=(q-{\varpi\over \omega})^{2\over 3}T^{1\over 3}a.\]

Partiendo del valor $\varpi=q\omega$ para el cual
$A_C(q,T,\varpi)=0$ (en el referencial inercial, las partículas están en el reposo al infinito), hagamos decrecer $\varpi$ hasta 0. A cada valor $\varpi_0$ de
$\varpi$ tal que la ecuación en las variaciones de $x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t)$
posee una solución periódica de período $T$, el núcleo de Hessien de la acción (siempre calculada sobre un intervalo de tiempo $T$) se acrecienta (es un razonamiento clásico de puntos conjugados). Con el fin -entre otros- de hacer coercitiva la acción y de eliminar las soluciones ’’triviales’’ correspondientes a la rotación del plano del equilibrio relativo o a las soluciones homográficas, elijamos una tal solución $z_0(t)$ vertical y minimicemos la acción entre los caminos que, en el referencial que gira a la velocidad $\varpi_0$, se convierten en un lazo que posee las mismas simetrías que el lazo
$\bigl(x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t),z_0(t)\bigr)$. Notemos que las soluciones
$\bigl(x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t),0\bigr)$ siempre poseen una simetría de este tipo, la cual es un quiebre de su simetría continua. En los dos casos que consideramos abajo, la limitación de simetría es suficientemente fuerte como para que $\varpi_0$ sea el único punto de bifurcación de la familia (vea el recuadro). El mínimo de la acción es entonces realizado por $x_{C,q}^{T,\varpi}(t)$ cuando $\varpi_0\le\varpi\le q\omega$, y por una solución que describe una de las familias de Liapunov nombradas más arriba cuando $0\le\varpi\le\varpi_0$.

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Del triángulo al Ocho, del cuadrado al Hip-Hop

i) Del triángulo al Ocho :
En el caso del equilibrio relativo equilátero $x_C(t)$ de tres cuerpos, cada solución de $\ref{VVE}$ tiene la misma frecuencia $\omega_1$ que $x(t)$. El espacio de las fases de $\ref{VVE}$, de dimensión 4 una vez eliminadas las traslaciones, es generado por la familia -trivial- de los equilibrios relativos en planos inclinados y por una familia derivada de una solución $z_0(t)$. En un referencial que gira completamente en el sentido retrógrado durante un período (i.e ; $\varpi_0=\omega_1$), $\bigl(x_{C,2}^{T,\varpi_0},z_0(t)\bigr)$ se convierte en una coreografía llevada por una curva en forma de ostra entreabierta, y admite el grupo diedral $D_6$ con 12 elementos como grupo de simetrías. La minimización bajo esta limitación de simetrías provee, para $\varpi$ variando de $\varpi_0=\omega_1$ a 0, una familia de coreografías en el referencial que gira, llevadas por una curva que se abre como una ostra y llega al « Ocho » en un plano vertical. Es la familia $P_{12}$ o ’’desencadenamiento’’ del triángulo. El germen de la familia de Liapunov asociada a las soluciones no triviales de $\ref{VVE}$ era descrita en [M1] como la familia de soluciones (cuasi) periódicas del problema de los tres cuerpos con la simetría máxima (que es la de $D_6$). Es inmediatamente después de tomar conocimiento de la existencia del ’’Ocho’’ que C. Marchal se dio cuenta [M2] de que esas soluciones se convertían en coreografías en el referencial que gira. Es el punto de partida de [CF], donde damos a esta observación todo su alcance.

ii) del cuadrado al Hip-Hop : Consideradas en una referencia que gira a la velocidad $\varpi=({\omega_2\over\omega_1}-1)$, las soluciones de $\ref{VVE}$ que corresponden a la segunda frecuencia $\omega_2>\omega_1$, se convierten en ${2\pi\over\omega_2}$-periódicas y poseen las mismas simetrías que el Hip-Hop. Dan nacimiento a una familia que, cuando la rotación decrece, se agranda y termina en la solución de Hip-Hop (vea [CF], donde se encontrará también una discusión del caso de 5 cuerpos).

En ambos casos, lo único que no está probado (pero que está claro numéricamente) es la unicidad del mínimo para cada valor de la rotación, unicidad que implicaría la continuidad de la familia y no sólo de la acción.

Referencias

[C1] A. Chenciner, Solutions du problème des n corps joignant deux
configurations,
Gazette des
mathématiciens 99, 5—12, janvier 2004

[C2] A. Chenciner, De l’espace des triangles au problème des trois
corps,
Gazette des mathématiciens 104, 22—38, avril 2005

[CF] A. Chenciner & J. Féjoz, L’équation aux variations
verticales d’un équilibre relatif
comme source de nouvelles solutions périodiques du problème des N corps
CRAS, 340, $n^0$8, 593—598 (15 Avril 2005)

[CM] A. Chenciner & R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics
152, 881—901 (2000)

[CV] A. Chenciner & A. Venturelli, Minima de l’intégrale d’action
du Problème
« newtonien de $4$ corps de masses égales dans $\mathbb{R}^3$ : orbites hip-hop »,

Celestial Mechanics 77, 139—152 (2000)

[M1] C. Marchal, The three-body problem,
Elsevier (1990)

[M2] C. Marchal, The family $P_{12}$ of the three-body
problem. The simplest family of periodic orbits with twelve
symmetries per period
Cel. Mech. Dynam. Astron.
78, 279—298 (2000)

[P] H. Poincaré, Sur les solutions périodiques et le principe de
moindre action,
C.R.A.S. 123, 915—918, (1896)

Post-scriptum :

El autor agradece cálidamente a Jacques Féjoz por su ayuda con las figuras.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Los polígonos desencadenados y el problema de los n cuerpos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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