Un défi par semaine

Mai 2015, 2ème défi

El 8 mayo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Trouver les valeurs des entiers positifs $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$, strictement supérieurs à $1$, qui satisfont les égalités

$a(b+c+d+e) = 128$

$b(a+c+d+e) = 155$

$c(a+b+d+e) = 203$

$d(a+b+c+e) = 243$

$e(a+b+c+d) = 275.$

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

Notons $a, b, c, d, e, f, g, h$ et $i$ les nombres dans chaque cercle comme le montre la
figure ci-dessous :

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Calculons la somme des nombres à l’intérieur des triangles :

$18+15+10+14+15+13+14+15 =114.$

Si l’on calcule cette somme avec les nombres dans les cercles, on observe que chaque nombre qui est dans un cercle et qui n’est pas $i$ va être compté deux fois, une fois pour chaque triangle auquel il appartient. Le nombre $i$, lui, sera compté $8$ fois puisqu’il fait partie des $8$ triangles. D’autre part, on sait que $a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+\cdots +9=45$, puisque l’on peut uniquement utiliser les nombres de $1$ à $9$. Ainsi,

$2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+8i = 114$

$90+6i = 114$

$6i = 24$

$i = 4.$

Maintenant, nous savons que $c+4+d=10$, d’où $c+d=6$, mais $c$ et $d$ ne peuvent valoir ni $4$ ni $3$ tous les deux, ainsi un des deux doit valoir $5$ et l’autre $1$. Si $c=1$, alors $b=10$ et ceci est impossible. Ainsi, $c=5$ et $d=1$ . Il n’est pas difficile de voir qu’alors tous les autres nombres sont déterminés.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2015, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

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  • Mai 2015, 2ème défi

    le 8 de mayo de 2015 à 12:30, par Daniate

    Bonjour,

    De mon côté, j’ai posé S=a+b+c+d+e. Les égalités se transforment en a(S-a)=128; b(S-b)=155 etc

    On remarque que les S-x sont supérieurs à 8

    L’égalité b(S-b)=5X31 impose b=5 (puisque 1 est interdit) et S-b=31 d’où S=36 , de même avec c(S-c)=7X29 donne c=7

    Il ne reste alors que 24 pour a+d+e

    e(S-e)=11X25 impose e=11 il reste a+d=13

    d(S-d)=9*27 d’où d=9 et a(S-a)=4X32 donne a=4

    Répondre à ce message

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