Un défi par semaine

Mai 2015, 2ème défi

Le 8 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Trouver les valeurs des entiers positifs $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$, strictement supérieurs à $1$, qui satisfont les égalités

$a(b+c+d+e) = 128$

$b(a+c+d+e) = 155$

$c(a+b+d+e) = 203$

$d(a+b+c+e) = 243$

$e(a+b+c+d) = 275.$

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

Notons $a, b, c, d, e, f, g, h$ et $i$ les nombres dans chaque cercle comme le montre la
figure ci-dessous :

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Calculons la somme des nombres à l’intérieur des triangles :

$18+15+10+14+15+13+14+15 =114.$

Si l’on calcule cette somme avec les nombres dans les cercles, on observe que chaque nombre qui est dans un cercle et qui n’est pas $i$ va être compté deux fois, une fois pour chaque triangle auquel il appartient. Le nombre $i$, lui, sera compté $8$ fois puisqu’il fait partie des $8$ triangles. D’autre part, on sait que $a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+\cdots +9=45$, puisque l’on peut uniquement utiliser les nombres de $1$ à $9$. Ainsi,

$2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+8i = 114$

$90+6i = 114$

$6i = 24$

$i = 4.$

Maintenant, nous savons que $c+4+d=10$, d’où $c+d=6$, mais $c$ et $d$ ne peuvent valoir ni $4$ ni $3$ tous les deux, ainsi un des deux doit valoir $5$ et l’autre $1$. Si $c=1$, alors $b=10$ et ceci est impossible. Ainsi, $c=5$ et $d=1$ . Il n’est pas difficile de voir qu’alors tous les autres nombres sont déterminés.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2015, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2015, 2ème défi

    le 13 mai 2015 à 12:19, par nef2240

    Bonjour sans calcul nous déduisons que
    a puissance de 2
    b=5
    c=7
    d puissance de 3
    e multiplie de 5 ou 11
    a+d+e=24 nous avons deux solutions (4,9,11) ou (16,3,5) seule solution (a,d,e)=(4,9,11).

    Répondre à ce message

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