Un défi par semaine

Mai 2015, 3e défi

Le 15 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

Diviser ce carré en $4$ figures égales de telle sorte que chaque figure contienne une des lettres.

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Solution du 2ème défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $a=4$, $b=5$, $c=7$, $d=9$ et $e=11$.

Comme $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $2$, la somme de quatre d’entre eux, n’importe lesquels, vaut au moins $8$. Ensuite, puisque

$b(a+c+d+e)=155=5(31),$

où $5$ et $31$ sont des nombres premiers, on obtient $b=5$ et $a+c+d+e=31$. De la même manière, l’égalité

$c(a+b+d+e)=203=7(29)$

implique que $c=7$ et $a+b+d+e=29$. Par conséquent,

$a+d+e = 24,$

$a+b+c+d+e = 36.$

De la première équation du système, on déduit :

$a(b+c+d+e) = 128$

$a(36-a) = 2^7.$

Pour que $a$ et $36-a$ soient des puissances de $2$, les seules possibilités sont : $a=4$ ou $a=32$. Si $a=32$, alors

$36=a+b+c+d+e\geq 32+2+2+2+2=40,$

ce qui est impossible. Ainsi, $a=4$ et on a :

$e(a+b+c+d) = 275$

$e(16+d) = 5^2(11),$

avec $d+e=36-a-b-c=20$. Comme $18\leq 16+d<36$, on a $16+d=25$. Alors, $d=25-16=9$ et $e=11$. Par conséquent, $a=4$, $b=5$, $c=7$, $d=9$ et $e=11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2015, 3ème défi

    le 18 mai 2015 à 20:50, par nef2240

    Bonjour la solution la figure est de la forme spirale et longueur 16
    Chacune d’elle est subie une rotation de 90
    Si 4 passe par « C », 3 passe par « B », 1 passe par « A » et 2 passe par « D »
    la grille devient :
    42222222
    42111111
    42133331
    42134431
    42112431
    42222431
    44444431
    33333331

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