Un défi par semaine

Mai 2015, 5e défi

El 29 mayo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 22 :

Si l’on choisit un point $P$ dans un plan cartésien contenu dans un rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ et $(0,1)$, quelle est la probabilité que $P$ soit plus proche de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$?

Solution du 4ème défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $5$ ensembles.

Soit $\{u,v,x,y\}$ un ensemble ordonné interchangeable, alors on peut supposer que

$(10v+u)(10x+y) = (10u+v)(10y+x) $

$10^2 v x+10 v y+10 u x+u y = 10^2 u y+10 u x+10 v y+v x $

$99v x = 99u y$

$v x = u y.$

Donc, le produit du premier et du quatrième nombres doit être égal au produit du deuxième et troisième nombres dans l’ensemble. Observons que les nombres premiers $5$ et $7$ ne peuvent pas faire partie de l’ensemble. Si le plus grand des éléments est $4$ alors l’unique ensemble est $\{1,2,3,4\}$ et il n’est pas interchangeable.
Ainsi, l’ensemble doit contenir au moins un des chiffres $6$, $8$ ou $9$.

Si le plus grand des éléments est $6$, alors $3$ et un autre chiffre pair doivent être dans l’ensemble. Nous avons alors les ensembles interchangeables suivants : $\{1,2,3,6\}$ ou $\{2,3,4,6\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $8$. Alors $4$ doit être un autre élément pair de l’ensemble. Comme $8=2^3$ et $4=2^2$, les seuls ensembles interchangeables que l’on a, par l’équation $v x = u y$, sont $\{3,4,6,8\}$ et $\{1,2,4,8\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $9$. Comme l’un des nombres de l’équation $v x = u y$ doit être un multiple de $9$, on en déduit que l’autre membre de l’égalité doit contenir le $3$ et le $6$. Dans ce cas, l’unique ensemble interchangeable est $\{2,3,6,9\}$.

Par conséquent, il y a au total $5$ ensembles interchangeables de $4$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Imagen de portada - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

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  • Mai 2015, 5ème défi

    le 30 de mayo de 2015 à 07:48, par ROUX

    Une fois tracé le problème, la zone des points P est la partie hachurée (trapézoïdale) à la gauche de la médiatrice du segment des points (0,0) et (3,1).

    Il faut donc calculer cette surface puis la diviser par la surface du rectangle.

    J’ai donc obtenu l’équation de droite de cette médiatrice puis alors les deux longueurs différentes du trapèze puis sa surface.

    Mais ce n’est tellement pas élégant que je suis convaincu que Daniate va nous trouver quelque chose de lumineux.
    J’attends :-)!!!

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