Un défi par semaine

Mai 2015, 5e défi

Le 29 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 22 :

Si l’on choisit un point $P$ dans un plan cartésien contenu dans un rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ et $(0,1)$, quelle est la probabilité que $P$ soit plus proche de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$ ?

Solution du 4ème défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $5$ ensembles.

Soit $\{u,v,x,y\}$ un ensemble ordonné interchangeable, alors on peut supposer que

$(10v+u)(10x+y) = (10u+v)(10y+x) $

$10^2 v x+10 v y+10 u x+u y = 10^2 u y+10 u x+10 v y+v x $

$99v x = 99u y$

$v x = u y.$

Donc, le produit du premier et du quatrième nombres doit être égal au produit du deuxième et troisième nombres dans l’ensemble. Observons que les nombres premiers $5$ et $7$ ne peuvent pas faire partie de l’ensemble. Si le plus grand des éléments est $4$ alors l’unique ensemble est $\{1,2,3,4\}$ et il n’est pas interchangeable.
Ainsi, l’ensemble doit contenir au moins un des chiffres $6$, $8$ ou $9$.

Si le plus grand des éléments est $6$, alors $3$ et un autre chiffre pair doivent être dans l’ensemble. Nous avons alors les ensembles interchangeables suivants : $\{1,2,3,6\}$ ou $\{2,3,4,6\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $8$. Alors $4$ doit être un autre élément pair de l’ensemble. Comme $8=2^3$ et $4=2^2$, les seuls ensembles interchangeables que l’on a, par l’équation $v x = u y$, sont $\{3,4,6,8\}$ et $\{1,2,4,8\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $9$. Comme l’un des nombres de l’équation $v x = u y$ doit être un multiple de $9$, on en déduit que l’autre membre de l’égalité doit contenir le $3$ et le $6$. Dans ce cas, l’unique ensemble interchangeable est $\{2,3,6,9\}$.

Par conséquent, il y a au total $5$ ensembles interchangeables de $4$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2015, 5ème défi

    le 31 mai 2015 à 12:49, par nef2240

    Bonjour
    voici la solution soit A(0,0),D(3,1) et P(x,y) avec 0<=x<=2 et 0<=y<=1

    Prob(AP<PE)=P(y<5-3x)=calcul aire trapèze / aire rectangle = (7/6)/2=7/12 # 58 %

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