Un défi par semaine

Mai 2016, 1er défi

El 6 mayo 2016  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels non nuls tels que $3x+2y=z$ et $\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}.$
Trouver la valeur de $5x^2 - 4y^2 - z^2$.

Solution du 5e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est pour tout $n$ entier positif.

Les premières valeurs sont $0$, $4$, $20$, $64$, ce qui suggère que $3^n-2n-1$ est toujours divisible par $4$.

Supposons d’abord $n$ pair et écrivons $n=2m$. On a alors

$3^{2m}- 4m -1 = 3^{2m} -1 - 4m$

$ = (3^{m} -1)(3^{m} +1) - 4m,$

et comme les deux nombres $(3^{m} -1)$ et $(3^{m} +1)$ sont pairs, leur produit est divisible par $4$, et donc $4$ divise toujours $3^n-2n-1$ si $n$ est pair.

Si maintenant $n$ est impair, on peut l’écrire sous la forme $n=2m+1$. On a

$3^{2m+1}- 2(2m+1) -1 = 3\times 3^{2m} - 4m-2-1$

$ = 3(3^{2m} -1) - 4m$

$ = 3(3^{m} -1)(3^{m} +1)- 4m,$

et comme précédemment, $4$ divise toujours $(3^{m} -1)(3^{m} +1)$ et donc $3^{2m+1}- 2(2m+1) -1$.

Par conséquent $4$ divise $3^n-2n-1$ pour tout $n$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Comentario sobre el artículo

  • Mai 2016, 1er défi

    le 6 de mayo de 2016 à 08:52, par mesmaker

    Le résultat est zéro comme on peut s’en assurer si l’on prend le triplet (x, y, z) = (1, -1, 1).

    Pour le démontrer il faut premièrement mettre au carré la première expression :
    9x^2 + 12xy + 4y^2 - z^2 = 0 (*)
    Ensuite il faut injecter la première dans la seconde faisant disparaître z pour montrer que les parties en x, y dans (*) peuvent s’écrire sous la forme demandé.

    Répondre à ce message
    • Mai 2016, 1er défi

      le 9 de mayo de 2016 à 19:29, par jokemath

      On utilise la première équation pour éliminer z de la deuxième, donc 3/x+1/y=2/(3x+2y)
      D’où (9x+6y)/x+(3x+2y)/y=2, et en simplifiant, il vient 9+6y/x+3x/y+2=2
      On pose t=x/y et on simplifie par 3, alors 3+2t+1/t=0
      Soit t²+3t+2=0, en «réduisant» au même dénominateur,
      la factorisation donne (t+1)(t+2) = 0, donc t = - 1, ou - 2
      Pour t = - 1, on a x = - y et la 1ère équation donne z = - y
      Pour t = - 2, on a x = - 2y et la 1ère équation donne z = - 4y

      Et pour les deux cas, la valeur cherchée est 0

      Remarque, pour que la 2-ième équation existe, il faut que les réels x, y et z soient non nuls.

      Répondre à ce message
  • Mai 2016, 1er défi

    le 9 de mayo de 2016 à 08:40, par ROUX

    Oups... Trois inconnues pour deux équations donc, ou cela vaut une infinité de valeurs car on trouvera un truc du genre k fois z (ou x ou y) au carré ou, comme l’a déjà démontré mesmaker, zéro.
    Comment fait-on?
    La première équation élevée au carré indiquera à combien de x au carré, de y au carré et de xy est égal un z au carré. Il faut de débarrasser de ces xy.
    La suppression des dénominateurs de la seconde égalité donnera des xy égal à z facteur d’une somme de x et de y. Le z là-dedans sera remplacé par sa somme de x et y ce qui donnera des x au carré, des y au carré et des xy. En rassemblant les xy, on saura à combien de x au carré et de y au carré est égal un xy et cette égalité sera injectée dans la première équation élevée au carré. On n’aura plus que des x au carré et des y au carré et on aura donc le nombre de carrés de x et de y auquel est égal un z au carré.
    Si cette expression N’est PAS égale à 5 carrés de x moins 4 carrés de y alors nous pourrons... Ouille, elle a intérêt à y être égale!!!

    Répondre à ce message
    • Mai 2016, 1er défi

      le 9 de mayo de 2016 à 19:16, par Daniate

      J’espère qu’un jour vous nous donnerez vos idées en vieux françois. A propos de votre finale, c’est le principe du défi d’avoir un petit miracle et en effet on retombe sur la bonne expression. Deux remarques, cependant: l’auteure nous informe que le résultat reste le même quel que soient les valeurs vérifiant les 2 premières équations donc l’exhibition de 1, -1, 1 est suffisante pour un logicien. Ensuite, manque de finesse, je me suis lancé dans une autre voie, multiplier les 2 égalités membre à membre ce qui donne après simplification 3+x/y+2*y/x=0. Il suffit de poser X=x/y et de multiplier par X pour avoir X²+3X+2=0 avec deux racine évidentes X=-1 et X=-2 donc deux familles de triplets (a, -a, a) et (2a, -a, 4a) qui toutes 2 annulent la 3ème expressions

      Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.