Mai 2016, 1er défi

El 6 mayo 2016 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
Leer el artículo en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels non nuls tels que $3x+2y=z$ et $\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}.$
Trouver la valeur de $5x^2 - 4y^2 - z^2$.

Solution du 5e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est pour tout $n$ entier positif.

Les premières valeurs sont $0$, $4$, $20$, $64$, ce qui suggère que $3^n-2n-1$ est toujours divisible par $4$.

Supposons d’abord $n$ pair et écrivons $n=2m$. On a alors

$3^{2m}- 4m -1 = 3^{2m} -1 - 4m$

$ = (3^{m} -1)(3^{m} +1) - 4m,$

et comme les deux nombres $(3^{m} -1)$ et $(3^{m} +1)$ sont pairs, leur produit est divisible par $4$, et donc $4$ divise toujours $3^n-2n-1$ si $n$ est pair.

Si maintenant $n$ est impair, on peut l’écrire sous la forme $n=2m+1$. On a

$3^{2m+1}- 2(2m+1) -1 = 3\times 3^{2m} - 4m-2-1$

$ = 3(3^{2m} -1) - 4m$

$ = 3(3^{m} -1)(3^{m} +1)- 4m,$

et comme précédemment, $4$ divise toujours $(3^{m} -1)(3^{m} +1)$ et donc $3^{2m+1}- 2(2m+1) -1$.

Par conséquent $4$ divise $3^n-2n-1$ pour tout $n$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Mai 2016, 1er défi

le 9 de mayo de 2016 à 19:16, par Daniate

J’espère qu’un jour vous nous donnerez vos idées en vieux françois. A propos de votre finale, c’est le principe du défi d’avoir un petit miracle et en effet on retombe sur la bonne expression. Deux remarques, cependant: l’auteure nous informe que le résultat reste le même quel que soient les valeurs vérifiant les 2 premières équations donc l’exhibition de 1, -1, 1 est suffisante pour un logicien. Ensuite, manque de finesse, je me suis lancé dans une autre voie, multiplier les 2 égalités membre à membre ce qui donne après simplification 3+x/y+2*y/x=0. Il suffit de poser X=x/y et de multiplier par X pour avoir X²+3X+2=0 avec deux racine évidentes X=-1 et X=-2 donc deux familles de triplets (a, -a, a) et (2a, -a, 4a) qui toutes 2 annulent la 3ème expressions
Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexión | inscribirse | ¿contraseña olvidada?

El autor

Ana Rechtman

Un défi par semaine

Mai 2016, 1er défi

Solution du 5e défi d’Avril :

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article