Un défi par semaine

Mai 2016, 1er défi

Le 6 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels non nuls tels que $3x+2y=z$ et $\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}.$
Trouver la valeur de $5x^2 - 4y^2 - z^2$.

Solution du 5e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est pour tout $n$ entier positif.

Les premières valeurs sont $0$, $4$, $20$, $64$, ce qui suggère que $3^n-2n-1$ est toujours divisible par $4$.

Supposons d’abord $n$ pair et écrivons $n=2m$. On a alors

$3^{2m}- 4m -1 = 3^{2m} -1 - 4m$

$ = (3^{m} -1)(3^{m} +1) - 4m,$

et comme les deux nombres $(3^{m} -1)$ et $(3^{m} +1)$ sont pairs, leur produit est divisible par $4$, et donc $4$ divise toujours $3^n-2n-1$ si $n$ est pair.

Si maintenant $n$ est impair, on peut l’écrire sous la forme $n=2m+1$. On a

$3^{2m+1}- 2(2m+1) -1 = 3\times 3^{2m} - 4m-2-1$

$ = 3(3^{2m} -1) - 4m$

$ = 3(3^{m} -1)(3^{m} +1)- 4m,$

et comme précédemment, $4$ divise toujours $(3^{m} -1)(3^{m} +1)$ et donc $3^{2m+1}- 2(2m+1) -1$.

Par conséquent $4$ divise $3^n-2n-1$ pour tout $n$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2016, 1er défi

    le 9 mai 2016 à 19:16, par Daniate

    J’espère qu’un jour vous nous donnerez vos idées en vieux françois. A propos de votre finale, c’est le principe du défi d’avoir un petit miracle et en effet on retombe sur la bonne expression. Deux remarques, cependant : l’auteure nous informe que le résultat reste le même quel que soient les valeurs vérifiant les 2 premières équations donc l’exhibition de 1, -1, 1 est suffisante pour un logicien. Ensuite, manque de finesse, je me suis lancé dans une autre voie, multiplier les 2 égalités membre à membre ce qui donne après simplification 3+x/y+2*y/x=0. Il suffit de poser X=x/y et de multiplier par X pour avoir X²+3X+2=0 avec deux racine évidentes X=-1 et X=-2 donc deux familles de triplets (a, -a, a) et (2a, -a, 4a) qui toutes 2 annulent la 3ème expressions

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