Un défi par semaine

Mai 2016, 3e défi

Le 20 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

On choisit $8$ points sur un cercle. On trace ensuite les cordes qui connectent chaque paire de points (on suppose que l’on n’a jamais trois cordes concourantes). Combien forme-t-on ainsi de triangles à l’intérieur du cercle ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $(2,2,29)$, $(13,3,13)$, $(11,5,11)$.

En isolant $q r$, on obtient

$q r=p q r-15p-7pq=p(q r-15-7q).$

Donc $q r$ est divisible par $p$. Comme $p$, $q$ et $r$ sont premiers, il y a deux possibilités : $p=q$ ou $p=r$.

  • Si $p=q$ on a $15+7q+r=qr$, ce qui peut être réécrit

$22=qr-7q-r+7=(q-1)(r-7).$

Comme $22$ est un nombre pair non multiple de 4, on déduit qu’un de ses facteurs est impair, donc l’un des deux nombres premiers $q$ et $r$ est pair. Le seul cas possible est $q=2$, ce qui donne $r=29$.

  • Si $p=r$, nous pouvons diviser les deux membres de l’expression de départ par $r$. Nous obtenons $15+8q=qr$ ou $15=q(r-8).$ L’entier $q$ est alors un nombre premier qui divise $15$, c’est-à-dire soit $3$, soit $5$.

Si $q=3$, $r=13$ ; si $q=5$, $r=11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Mai 2016, 3e défi

    le 20 mai 2016 à 09:14, par Al_louarn

    Disons qu’un triangle est d’ordre $n$ s’il a $n$ sommets sur le cercle.
    Pour faire un triangle d’ordre $n$ il faut $3$ cordes issues de $6-n$ sommets.
    Il y a $C_8^k$ ensembles de $k$ sommets.
    Un ensemble de $6$ sommets forme $1$ triangle d’ordre $0$.
    Un ensemble de $5$ sommets forme $5$ triangles d’ordre $1$.
    Un ensemble de $4$ sommets forme $4$ triangles d’ordre $2$.
    Un ensemble de $3$ sommets forme $1$ triangle d’ordre $3$.
    Le nombre de total de triangles est donc $1 \times C_8^6 + 5 \times C_8^5 + 4 \times C_8^4 + 1 \times C_8^3 = 644$.

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