Un défi par semaine

Mai 2016, 3e défi

Le 20 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

On choisit $8$ points sur un cercle. On trace ensuite les cordes qui connectent chaque paire de points (on suppose que l’on n’a jamais trois cordes concourantes). Combien forme-t-on ainsi de triangles à l’intérieur du cercle ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $(2,2,29)$, $(13,3,13)$, $(11,5,11)$.

En isolant $q r$, on obtient

$q r=p q r-15p-7pq=p(q r-15-7q).$

Donc $q r$ est divisible par $p$. Comme $p$, $q$ et $r$ sont premiers, il y a deux possibilités : $p=q$ ou $p=r$.

  • Si $p=q$ on a $15+7q+r=qr$, ce qui peut être réécrit

$22=qr-7q-r+7=(q-1)(r-7).$

Comme $22$ est un nombre pair non multiple de 4, on déduit qu’un de ses facteurs est impair, donc l’un des deux nombres premiers $q$ et $r$ est pair. Le seul cas possible est $q=2$, ce qui donne $r=29$.

  • Si $p=r$, nous pouvons diviser les deux membres de l’expression de départ par $r$. Nous obtenons $15+8q=qr$ ou $15=q(r-8).$ L’entier $q$ est alors un nombre premier qui divise $15$, c’est-à-dire soit $3$, soit $5$.

Si $q=3$, $r=13$ ; si $q=5$, $r=11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2016, 3e défi

    le 20 mai 2016 à 15:37, par mesmaker

    Bien que je trouve ce défi plus corsé que d’habitude, je me pose une question qui me semble encore plus dure.

    Si j’ai bien compris la question et la solution donné par Al_louarn, on cherche tous les triangles possibles même ceux qui sont traversées par des cordes. Dans mon cas, je me pose la question de colorier les triangles et de manière plus générales les quadrilatères, pentagones, ...Donc je me restreint au figures géométriques dont l’intérieur est vide. Est il possible de savoir combien il y en a ?

    Par exemple pour 3 points, il y a seulement 1 triangles, pour 4 points, il y a quatre triangles, pour cinq points il y a 10 triangles et au milieu un pentagones, pour six points, cela se corse, et il me semble qu’il y a 18 triangles sur les ’’bords’’ 1 au centre, 3 quadrilatères et 3 pentagones.

    Que se passe t’il pour 7 en enfin 8 ? et plus si c’est possible ?

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