Un défi par semaine

Mai 2016, 3e défi

Le 20 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

On choisit $8$ points sur un cercle. On trace ensuite les cordes qui connectent chaque paire de points (on suppose que l’on n’a jamais trois cordes concourantes). Combien forme-t-on ainsi de triangles à l’intérieur du cercle ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $(2,2,29)$, $(13,3,13)$, $(11,5,11)$.

En isolant $q r$, on obtient

$q r=p q r-15p-7pq=p(q r-15-7q).$

Donc $q r$ est divisible par $p$. Comme $p$, $q$ et $r$ sont premiers, il y a deux possibilités : $p=q$ ou $p=r$.

  • Si $p=q$ on a $15+7q+r=qr$, ce qui peut être réécrit

$22=qr-7q-r+7=(q-1)(r-7).$

Comme $22$ est un nombre pair non multiple de 4, on déduit qu’un de ses facteurs est impair, donc l’un des deux nombres premiers $q$ et $r$ est pair. Le seul cas possible est $q=2$, ce qui donne $r=29$.

  • Si $p=r$, nous pouvons diviser les deux membres de l’expression de départ par $r$. Nous obtenons $15+8q=qr$ ou $15=q(r-8).$ L’entier $q$ est alors un nombre premier qui divise $15$, c’est-à-dire soit $3$, soit $5$.

Si $q=3$, $r=13$ ; si $q=5$, $r=11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Mai 2016, 3e défi

    le 23 mai 2016 à 15:03, par Al_louarn

    Donc si je résume le problème, on a un polygone convexe a $n$ côtés, tel que $3$ de ses diagonales ne sont jamais concourantes à l’intérieur du polygone. Les diagonales divisent le grand polygone en petites régions polygonales, qu’on veut dénombrer.

    Imaginons qu’on trace les diagonales une à une.

    Au départ il n’y a qu’une seule région.

    Ensuite, à chaque étape, la $i$ème diagonale ajoutée va croiser ${d_i}$ autres diagonales parmi les $i-1$ qui ont déjà tracées.
    Elle va donc traverser ${d_i}+1$ régions existantes. Chaque région traversée est divisée en $2$, ce qui augmente d’un point le nombre de régions.
    Le nombre de régions ajoutées par la nouvelle diagonale est donc ${d_i}+1$.

    S’il y a $D$ diagonales, le nombre total de régions est donc $R(n) = 1 + ({d_1}+1) + ... + ({d_D}+1) = 1 + D + ({d_1} + ... + {d_D})$.

    Comme ${d_i}$ est aussi le nombre de croisements (intérieurs) ajoutés par la $i$ème diagonale, la somme des ${d_i}$ est égale au nombre total de croisements intérieurs.
    Tout croisement intérieur s’obtient à partir de $4$ sommets du polygone, et inversement tout ensemble de $4$ sommets définit un et un seul croisement intérieur de diagonales.
    Le nombre total de croisements intérieurs est donc ${C_n^4}$.

    Pour calculer le nombre $D$ de diagonales, on considère tous les couples de sommets : il y en a ${C_n^2}$. Mais il ne faut pas compter les $n$ côtés du polygone, donc $D={C_n^2} - n$.

    Finalement on obtient $R(n) = 1 + {C_n^2} - n + {C_n^4}$, qui se simplifie en $R(n) = {C_{n-2}^2} + {C_n^4}$ pour $n \geq 4$.

    En faisant le calcul on retrouve bien :
    $R(4) = 4$
    $R(5) = 11$
    $R(6) = 25$
    Ensuite :
    $R(7) = 50$
    $R(8) = 91$
    etc.

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