Un défi par semaine

Mai 2016, 3e défi

Le 20 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

On choisit $8$ points sur un cercle. On trace ensuite les cordes qui connectent chaque paire de points (on suppose que l’on n’a jamais trois cordes concourantes). Combien forme-t-on ainsi de triangles à l’intérieur du cercle ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $(2,2,29)$, $(13,3,13)$, $(11,5,11)$.

En isolant $q r$, on obtient

$q r=p q r-15p-7pq=p(q r-15-7q).$

Donc $q r$ est divisible par $p$. Comme $p$, $q$ et $r$ sont premiers, il y a deux possibilités : $p=q$ ou $p=r$.

  • Si $p=q$ on a $15+7q+r=qr$, ce qui peut être réécrit

$22=qr-7q-r+7=(q-1)(r-7).$

Comme $22$ est un nombre pair non multiple de 4, on déduit qu’un de ses facteurs est impair, donc l’un des deux nombres premiers $q$ et $r$ est pair. Le seul cas possible est $q=2$, ce qui donne $r=29$.

  • Si $p=r$, nous pouvons diviser les deux membres de l’expression de départ par $r$. Nous obtenons $15+8q=qr$ ou $15=q(r-8).$ L’entier $q$ est alors un nombre premier qui divise $15$, c’est-à-dire soit $3$, soit $5$.

Si $q=3$, $r=13$ ; si $q=5$, $r=11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2016, 3e défi

    le 24 mai 2016 à 10:04, par mesmaker

    Je n’ai rien a dire sinon merci et bravo.

    Ensuite si vous arrivez à donner le nombre de triangles, quadrilatères, pentagones, ... dans chaque cas, je créerai une page Wikipédia en appellant cette suite la suite Al_louarn :)
    Trêve de plaisanteries, ces questions pourraient presque rentrer dans le cadre des graphes complets convexe si cette catégorie existe.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_complet

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