Un défi par semaine

Mai 2017, 1er défi

El 5 mayo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Zoé écrit un nombre à deux chiffres, puis Ysabel écrit la somme des carrés des chiffres du nombre de Zoé, et enfin Xavier écrit la somme des carrés des chiffres du nombre d’Ysabel. Quel est le nombre maximal que peut obtenir Xavier?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

On cherche les nombres entiers positifs à $2$ chiffres $ab$ vérifiant $ ab + 36 = ba$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Ceci est équivalent à:

$10 a + b + 36 = 10 b + a$

$9 a - 9 b = -36$

$9 (b - a) = 36$

$b - a = 4.$

Par conséquent, on cherche les couples de chiffres dont la différence est égale à $4$. Il existe $5$ tels couples $(a,b)$ de chiffres: $(5,9)$, $(4,8)$, $(3,7)$, $(2,6)$ et $(1,5)$. Par conséquent, les $5$ nombres qui satisfont au problème sont donc $59$, $48$, $37$, $26$ et $15$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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  • Mai 2017, 1er défi

    le 5 de mayo de 2017 à 14:49, par Niak

    Pas mieux...

    Histoire de s’amuser, on peut remarquer que si l’on itère la somme des chiffres au carré depuis n’importe quel nombre strictement positif, on aboutit toujours ultimement à la valeur $1$ ou au cycle $(4,16,37,58,89,145,42,20)$ (vérifié par le calcul pour ce défi sur les nombres d’au plus deux chiffres ; quant aux nombres d’au moins trois chiffres, une comparaison avec leur écriture décimale montre qu’ils sont toujours envoyés sur une valeur strictement inférieure).

    Répondre à ce message

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