Commentaire sur l'article

• Mai 2017, 4e défi

  le 26 mai 2017 à 07:49, par Florian

  On peut voir le problème ainsi. On retire un nombre $a$ (le sommet commun aux trois triangles) à $\left\{ 1, \dots, 7 \right\}$ puis on fait 3 paires de somme égale. Soit $A = \left\{ 1, \dots, 7 \right\} - \left\{ a \right\}$. On doit avoir $\sum_{b \in A} b$ qui est un multiple de $3$. Cela indique que pour un $a$ fixé, il n’y a qu’une valeur que la somme de chaque paire peut prendre, donc pour un $a$ fixé, les paires sont uniques (aux permutations près). Cela fonctionne pour $a = 1$, $a = 4$ et $a = 7$. Dans les 3 cas, on peut ensuite faire les 3 paires de somme égale :

  $a = 1$ : $(2,7), (3,6), (4,5)$

  $a = 4$ : $(1,7), (2,6), (3,5)$

  $a = 7$ : $(1,6), (2,5), (3,4)$

  Sans les permutations, on a donc 3 possibilités. En comptant les permutations, chacune de ses possibilité peut être écrite de 8 manière différentes, donc $24$.

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• Mai 2017, 4e défi

  le 26 mai 2017 à 11:19, par drai.david

  Et les permutations sur les triangles ? Il y en a 6.
  Donc la solution au problème est 24x6=144.

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• Mai 2017, 4e défi

  le 26 mai 2017 à 12:30, par Florian

  Bien vu ! au temps pour moi

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• Mai 2017, 4e défi

  le 26 mai 2017 à 14:42, par drai.david

  Généralisation à n triangles : 3 x 2ⁿ x n ! solutions.

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• Mai 2017, 4e défi

  le 27 mai 2017 à 18:06, par drai.david

  J’ai planché sur généralisation moins évidente :
  Supposons qu’au lieu de 3 triangles, nous ayons n polygones à n côtés, disposés en étoile, avec un sommet commun.
  « De combien de façons différentes peut-on placer les nombres de 1 à n²-n+1 dans les cercles de sorte que les sommes des nombres aux sommets des n polygones coloriés soient égales ? »

  * Pour n = 4, pas de souci, ça peut encore se faire à la main, et je trouve 311 040 solutions.
  * Mais pour n = 5, je vous laisse y réfléchir (et faire un petit programme).
  Le résultat est tout simplement astronomique !!!
  Bon courage !

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