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• Mai 2018, 4e défi

  le 25 de mayo de 2018 à 10:13, par drai.david

  On peut supposer $0 < a\leqslant b\leqslant c$.
  La première équation impose $\sqrt{70}\leqslant c\leqslant \sqrt{208}$. D’où $9\leqslant c\leqslant 14$.
  Comme $440=2^8\times 5\times 11$, on en déduit que $c\in\left\{10,11\right\}$.
  Si $c=10$ , alors $ab=44$ et $\sqrt{44}\leqslant b\leqslant c$. D’où $7\leqslant b\leqslant 10$.
  Or ceci est impossible car aucun diviseur de $44$ n’est dans cet intervalle. Donc $c=11$.
  La première équation devient donc $a^2+b^2=89$, ce qui impose $\sqrt{\frac{89}{2}}\leqslant b\leqslant \sqrt{88}$. D’où $7\leqslant b\leqslant 9$. Comme $b$ divise $40$, on en déduit $b=8$ et $a=5$.
  Ainsi, $a^3+b^3+c^3=5^3+8^3+11^3=125+512+1331=1968$.

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