Un défi par semaine

Mai 2018, 4e défi

El 25 mayo 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 21

Trois nombres entiers $a,b,c$ vérifient les conditions suivantes
\[ \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 & = &210\\ a+b+c & = &24\\ abc & = & 440. \end{eqnarray*} \]
Quelles sont les valeurs possibles de $a^3+b^3+c^3$?

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : Ce n’est pas possible.

L’aire du cercle est $\pi$ et son périmètre est $2\pi$.
Donc, si $a$ et $b$ sont les côtés du rectangle, on veut trouver un
rectangle qui a une aire $ab=\pi$ et un périmètre $2(a+b)=2\pi$. On
résout la seconde équation en $a$ pour obtenir $a=\pi-b$, et en utilisant la première on obtient $(\pi-b)b=\pi$, soit $b^2-\pi b+\pi=0$. En résolvant cette équation du second degré,
on a alors
\[ b=\frac{\pi \pm\sqrt{\pi^2-4\pi}}{2}, \]
qui a une solution si $\pi^2-4\pi\geq 0$. Or $\pi^2-4\pi=\pi(\pi-4)<0$, et par conséquent il n’est pas possible de trouver un rectangle ayant les caractéristiques demandées.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

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  • Mai 2018, 4e défi

    le 26 de mayo de 2018 à 09:46, par drai.david

    Les deux millésimes encadrant $1968$ qui pourraient être solution de problème avec $a$, $b$ et $c$ distincts deux à deux et premiers entre eux globalement sont $1945=12^3+6^3+1^3$ et $2059=11^3+8^3+6^3$.
    C’est donc assez rare, d’où la pertinence de proposer ce problème maintenant !
    Plus proche de nous et sans contraintes sur $a$, $b$ et $c$, il y a tout de même $2017=11^3+7^3+7^3$.

    Répondre à ce message

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