Mai 2018, 4e défi

Le 25 mai 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 21

Trois nombres entiers $a,b,c$ vérifient les conditions suivantes
\[ \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 & = &210\\ a+b+c & = &24\\ abc & = & 440. \end{eqnarray*} \]
Quelles sont les valeurs possibles de $a^3+b^3+c^3$ ?

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : Ce n’est pas possible.

L’aire du cercle est $\pi$ et son périmètre est $2\pi$.
Donc, si $a$ et $b$ sont les côtés du rectangle, on veut trouver un
rectangle qui a une aire $ab=\pi$ et un périmètre $2(a+b)=2\pi$. On
résout la seconde équation en $a$ pour obtenir $a=\pi-b$, et en utilisant la première on obtient $(\pi-b)b=\pi$, soit $b^2-\pi b+\pi=0$. En résolvant cette équation du second degré,
on a alors
\[ b=\frac{\pi \pm\sqrt{\pi^2-4\pi}}{2}, \]
qui a une solution si $\pi^2-4\pi\geq 0$. Or $\pi^2-4\pi=\pi(\pi-4)<0$, et par conséquent il n’est pas possible de trouver un rectangle ayant les caractéristiques demandées.

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Mai 2018, 4e défi

le 25 mai 2018 à 10:13, par drai.david

On peut supposer $0 < a\leqslant b\leqslant c$.
La première équation impose $\sqrt{70}\leqslant c\leqslant \sqrt{208}$. D’où $9\leqslant c\leqslant 14$.
Comme $440=2^8\times 5\times 11$, on en déduit que $c\in\left\{10,11\right\}$.
Si $c=10$ , alors $ab=44$ et $\sqrt{44}\leqslant b\leqslant c$. D’où $7\leqslant b\leqslant 10$.
Or ceci est impossible car aucun diviseur de $44$ n’est dans cet intervalle. Donc $c=11$.
La première équation devient donc $a^2+b^2=89$, ce qui impose $\sqrt{\frac{89}{2}}\leqslant b\leqslant \sqrt{88}$. D’où $7\leqslant b\leqslant 9$. Comme $b$ divise $40$, on en déduit $b=8$ et $a=5$.
Ainsi, $a^3+b^3+c^3=5^3+8^3+11^3=125+512+1331=1968$.
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