Mai 2018, 4e défi

Le 25 mai 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 21

Trois nombres entiers $a,b,c$ vérifient les conditions suivantes
\[ \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 & = &210\\ a+b+c & = &24\\ abc & = & 440. \end{eqnarray*} \]
Quelles sont les valeurs possibles de $a^3+b^3+c^3$ ?

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : Ce n’est pas possible.

L’aire du cercle est $\pi$ et son périmètre est $2\pi$.
Donc, si $a$ et $b$ sont les côtés du rectangle, on veut trouver un
rectangle qui a une aire $ab=\pi$ et un périmètre $2(a+b)=2\pi$. On
résout la seconde équation en $a$ pour obtenir $a=\pi-b$, et en utilisant la première on obtient $(\pi-b)b=\pi$, soit $b^2-\pi b+\pi=0$. En résolvant cette équation du second degré,
on a alors
\[ b=\frac{\pi \pm\sqrt{\pi^2-4\pi}}{2}, \]
qui a une solution si $\pi^2-4\pi\geq 0$. Or $\pi^2-4\pi=\pi(\pi-4)<0$, et par conséquent il n’est pas possible de trouver un rectangle ayant les caractéristiques demandées.

Commentaire sur l'article

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Mai 2018, 4e défi

le 25 mai 2018 à 11:33, par Niak

Certes, c’était surtout pour être le plus complet possible dans la réponse. Mais en réalité, pour calculer $a^3+b^3+c^3$, on n’a pas besoin de factoriser $P$ : pour $x\in\{a,b,c\}$, on a par construction $P(x)=0$ donc $x^3=24x^2-183x+440$ ce qui donne, lorsqu’on somme les trois, $a^3+b^3+c^3 = 24\cdot210-183\cdot24+440\cdot3=1968$.
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