Mai 2019, 2e défi

Le 10 mai 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 19

Dans une boîte, il y a $10$ cartes présentant chacune un nombre distinct entre $1$ et $10$.
Si l’on pioche $3$ cartes au hasard, quelle est la probabilité que l’on sorte ces cartes dans l’ordre croissant ?

Solution du 1er défi de mai :

Enoncé

La solution est $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Commençons par observer que l’image du triangle $XYZ$ par la
rotation d’un tiers de tour autour de l’axe $(HC)$ envoie le point
$X$ sur $Z$, le point $Z$ sur $Y$ et le point $Y$ sur $X$. On
obtient ainsi le même triangle et on en déduit que celui-ci est
équilatéral. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $XDG$, on obtient $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

Puisque $[XG]$ appartient à la face $ADGH$, ce segment est
perpendiculaire à $[GF]$. Par le théorème de
Pythagore
dans le triangle $XZG$ on a :
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
$XYZ$ est alors un triangle équilatéral de côté $\sqrt{14}$ cm, et l’on peut calculer son aire.

Par le théorème de Pythagore, sa hauteur mesure
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm}\]
et l’aire de $XYZ$ est donc
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Réponse : $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Mai 2019, 2e défi

le 10 mai 2019 à 19:42, par Blaxapate

Quel que soit le triplet que l’on tire, il peut être ordonné de 6 manières différentes, parmi lesquels seulement une est l’ordre croissant.

La probabilité est donc égale à $\frac{1}{6}$ !
Répondre à ce message
Mai 2019, 2e défi

le 18 mai 2019 à 00:24, par halberick

je pense que la solution dépend de la première carte tirée en effet imaginons que la première carte tirée soit le 9 ou le 10 , la probabilité dans ce cas de faire les tirages dans un ordre croissant est impossible et donc égale à 0 cela pour 72 tirages sur 720 possibles (nombre d’arrangement de 3 parmis 10) la probabilité de faire de tel tirage est de p=72/720 =1/10

si l’on tire le 8 il n’y a qu’une possibilité d’obtenir un tirage croissant c’est de tirer le 9 puis le 10 comme au total il y a 720 tirages possibles la probabilité de tirer le 8 puis le 9 puis le 10 est de 1/720.

si on commence par le 7, la probabilité devient 3 /720
si on commence par le 6 p=6/720
si on commence par le 5 p=10/720
si on commence par le 4 p=15/720
si on commence par le 3 p=21/720
si on commence par le 2 p=28/720
si on commence par le 1 p=36/720

donc au total on a bien p = 1/6 =(1+3+6+10+15+21+28+36)/720 =120/720 mais pas si on commence par un 9 ou un 10 représentant 72 arrangement possibles soit une probabilité p=1/10
donc la probabilité de tirer 3 cartes successivement dans l’ordre croissant est P= 1/6 -1/10= 1/15
Répondre à ce message
Mai 2019, 2e défi

le 18 mai 2019 à 14:56, par halberick

Erreur de ma part la réponse est 1/6, ne pas tenir compte de ma réponse précédente. En effet il y a :720 arrangements de 3 parmi 10 (A= 10 ! /(10-3) !et il y a 120 combinaisons de 3 parmi 10 (C=10 ! /3 !.(10-3) !) donc la probabilité de faire un tirage croissant de trois cartes tirées au hasard parmi 10 est p= 120 / 720 soit 1/6.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?