Mai 2019, 2e défi

Le 10 mai 2019 - Ecrit par Rechtman, Ana Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 19

Dans une boîte, il y a $10$ cartes présentant chacune un nombre distinct entre $1$ et $10$.
Si l’on pioche $3$ cartes au hasard, quelle est la probabilité que l’on sorte ces cartes dans l’ordre croissant ?

Solution du 1er défi de mai :

Enoncé

La solution est $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Commençons par observer que l’image du triangle $XYZ$ par la
rotation d’un tiers de tour autour de l’axe $(HC)$ envoie le point
$X$ sur $Z$, le point $Z$ sur $Y$ et le point $Y$ sur $X$. On
obtient ainsi le même triangle et on en déduit que celui-ci est
équilatéral. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $XDG$, on obtient $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

Puisque $[XG]$ appartient à la face $ADGH$, ce segment est
perpendiculaire à $[GF]$. Par le théorème de
Pythagore
dans le triangle $XZG$ on a :
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
$XYZ$ est alors un triangle équilatéral de côté $\sqrt{14}$ cm, et l’on peut calculer son aire.

Par le théorème de Pythagore, sa hauteur mesure
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm}\]
et l’aire de $XYZ$ est donc
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Réponse : $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Mai 2019, 2e défi

le 10 mai 2019 à 19:42, par Blaxapate

Quel que soit le triplet que l’on tire, il peut être ordonné de 6 manières différentes, parmi lesquels seulement une est l’ordre croissant.

La probabilité est donc égale à $\frac{1}{6}$ !
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Mai 2019, 2e défi

le 18 mai 2019 à 00:24, par halberick

je pense que la solution dépend de la première carte tirée en effet imaginons que la première carte tirée soit le 9 ou le 10 , la probabilité dans ce cas de faire les tirages dans un ordre croissant est impossible et donc égale à 0 cela pour 72 tirages sur 720 possibles (nombre d’arrangement de 3 parmis 10) la probabilité de faire de tel tirage est de p=72/720 =1/10

si l’on tire le 8 il n’y a qu’une possibilité d’obtenir un tirage croissant c’est de tirer le 9 puis le 10 comme au total il y a 720 tirages possibles la probabilité de tirer le 8 puis le 9 puis le 10 est de 1/720.

si on commence par le 7, la probabilité devient 3 /720
si on commence par le 6 p=6/720
si on commence par le 5 p=10/720
si on commence par le 4 p=15/720
si on commence par le 3 p=21/720
si on commence par le 2 p=28/720
si on commence par le 1 p=36/720

donc au total on a bien p = 1/6 =(1+3+6+10+15+21+28+36)/720 =120/720 mais pas si on commence par un 9 ou un 10 représentant 72 arrangement possibles soit une probabilité p=1/10
donc la probabilité de tirer 3 cartes successivement dans l’ordre croissant est P= 1/6 -1/10= 1/15
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Mai 2019, 2e défi

le 18 mai 2019 à 14:56, par halberick

Erreur de ma part la réponse est 1/6, ne pas tenir compte de ma réponse précédente. En effet il y a :720 arrangements de 3 parmi 10 (A= 10 ! /(10-3) !et il y a 120 combinaisons de 3 parmi 10 (C=10 ! /3 !.(10-3) !) donc la probabilité de faire un tirage croissant de trois cartes tirées au hasard parmi 10 est p= 120 / 720 soit 1/6.
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