Un défi par semaine

Mai 2019, 4e défi

Le 24 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 21

Combien d’entiers entre $1$ et $1000$ ne peuvent pas s’exprimer comme la différence entre deux carrés d’entiers ?

Solution du 3e défi de mai :

Enoncé

La solution est $15$ cm$^{2}$.

La partie non commune à ces deux rectangles est constituée
de $4$ triangles rectangles superposables d’hypoténuse $x$ et dont les autres côtés mesurent $3$ et $9-x$.

PNG - 17.5 ko

D’après le théorème de Pythagore,
\[ \begin{eqnarray*} x^{2} & = & (9-x)^{2}+3^{2}\\ x^{2} & = & 90-18x+x^2\\ x & = & 5\, \mbox{cm}. \end{eqnarray*} \]

La région commune est un parallélogramme de base 5 cm et de hauteur 3 cm,
donc d’aire égale à $5\times 3=15$ cm$^{2}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK.

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2019, 4e défi

    le 24 mai 2019 à 12:23, par Niak

    Pardon, dans le cas $k=2k'$, la différence devient $4(n+k')k'$. Cela ne change pas le raisonnement.
    Mon erreur vient du fait que, dans le cas pair, j’envisageais plutôt de reconsidérer la différence sous une forme plus agréable $(n+k)^2-(n-k)^2 = 4nk$.

    Répondre à ce message

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