Enoncé

Pour toute paire de nombres $a$ et $b$, on a l’égalité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Or par hypothèse, $a^3+b^3=2ab(a+b)$. Donc, comme $a+b\neq 0$, on en déduit $a^2-ab+b^2=2ab$ et donc $a^2+b^2=3ab$.

En divisant par $ab$, on obtient $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3$.

En élevant au carré, il vient $\left (\frac{a}{b}\right )^2+ 2+\left (\frac{b}{a}\right )^2=9$, donc $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=7$.

La solution est $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$.