Un défi par semaine

Mai 2020, 3e défi

Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 20

Un carré est divisé en neuf petits carrés égaux. Chaque petit carré est peint en noir ou blanc avec la même probabilité. On fait une rotation du grand carré de $90^{\circ}$ autour de son centre et on peint en noir chaque petit carré se retrouvant à la place d’un carré noir. Quelle est la probabilité que le grand carré soit tout noir à l’issue de cette opération ?

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

Pour toute paire de nombres $a$ et $b$, on a l’égalité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Or par hypothèse, $a^3+b^3=2ab(a+b)$. Donc, comme $a+b\neq 0$, on en déduit $a^2-ab+b^2=2ab$ et donc $a^2+b^2=3ab$.

En divisant par $ab$, on obtient $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3$.

En élevant au carré, il vient $\left (\frac{a}{b}\right )^2+ 2+\left (\frac{b}{a}\right )^2=9$, donc $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=7$.

La solution est $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

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  • Mai 2020, 3e défi

    le 15 mai 2020 à 09:04, par Al_louarn

    Pour que le grand carré soit tout noir après l’opération, il faut et il suffit que chaque petit carré blanc soit envoyé sur un noir par la rotation de $-90$ degrés.
    Numérotons les petits carrés de $1$ à $9$ en parcourant le grand carré de gauche à droite et de haut en bas. Alors la rotation se ramène à la permutation sur l’ensemble des entiers de $1$ à $9$ formée des $3$ cycles $(1,3,9,7),(2,6,8,4),(5)$.
    Pour le cycle $(5)$ il n’y a qu’une configuration favorable, celle où le carré central $5$ est noir : $(N)$
    Pour un cycle d’ordre $4$ il y a en tout $7$ configurations favorables :

    • $1$ avec $0$ carré blanc : $(N,N,N,N)$
    • $4$ avec $1$ carré blanc : $(B,N,N,N),(N,B,N,N),(N,N,B,N),(N,N,N,B)$
    • $2$ avec $2$ carrés blanc : $(B,N,B,N),(N,B,N,B)$
    • $0$ avec plus de $2$ carrés blancs car chaque blanc est suivi par un noir dans le cycle.
      Comme les cycles sont indépendants les uns des autres, nous avons au total $1 \times 7 \times 7 = 49$ configurations favorables.
      Il y a au total $2^9=512$ configurations du grand carré donc la probabilité qu’il soit tout noir après l’opération est $\dfrac{49}{512}$, soit environ $0,0957$, un peu moins d’une chance sur dix.
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