Un défi par semaine

Mai 2020, 3e défi

Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 20

Un carré est divisé en neuf petits carrés égaux. Chaque petit carré est peint en noir ou blanc avec la même probabilité. On fait une rotation du grand carré de $90^{\circ}$ autour de son centre et on peint en noir chaque petit carré se retrouvant à la place d’un carré noir. Quelle est la probabilité que le grand carré soit tout noir à l’issue de cette opération ?

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

Pour toute paire de nombres $a$ et $b$, on a l’égalité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Or par hypothèse, $a^3+b^3=2ab(a+b)$. Donc, comme $a+b\neq 0$, on en déduit $a^2-ab+b^2=2ab$ et donc $a^2+b^2=3ab$.

En divisant par $ab$, on obtient $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3$.

En élevant au carré, il vient $\left (\frac{a}{b}\right )^2+ 2+\left (\frac{b}{a}\right )^2=9$, donc $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=7$.

La solution est $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

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  • Mai 2020, 3e défi

    le 19 mai 2020 à 09:55, par bali

    Salut,

    $n$ impair : $n = 2 × k + 1$
    Pour chaque case du rectangle vert, j’écris la liste des quatre couleurs obtenues par rotations successives de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. $BBNN$ par exemple sur l’illustration.
    Pour qu’une liste devienne toute noire après une rotation de $90°$, il ne faut pas qu’elle comporte deux $B$ consécutifs (ou en début et en fin). Un décompte donne neuf telles listes. La probabilité que la liste soit toute noire après rotation vaut donc $1 − \dfrac{9}{16}$ c’est-à-dire $\dfrac{7}{16}$.
    Pour que le carré soit tout noir après rotation, il faut que chaque liste obtenu à partir du rectangle vert le soit et le carré central aussi, d’où une probabilité de $\dfrac{1}{2} ×\left(\dfrac{7}{16}\right)^{k(k+1)}$.

    $n$ pair : $n = 2 × k$
    Même raisonnement … probabilité de $\left(\dfrac{7}{16}\right)^{k^2}$

    Bonne journée !

    Document joint : carres-3.png
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