Un défi par semaine

Mai 2020, 3e défi

Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 20

Un carré est divisé en neuf petits carrés égaux. Chaque petit carré est peint en noir ou blanc avec la même probabilité. On fait une rotation du grand carré de $90^{\circ}$ autour de son centre et on peint en noir chaque petit carré se retrouvant à la place d’un carré noir. Quelle est la probabilité que le grand carré soit tout noir à l’issue de cette opération ?

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

Pour toute paire de nombres $a$ et $b$, on a l’égalité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Or par hypothèse, $a^3+b^3=2ab(a+b)$. Donc, comme $a+b\neq 0$, on en déduit $a^2-ab+b^2=2ab$ et donc $a^2+b^2=3ab$.

En divisant par $ab$, on obtient $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3$.

En élevant au carré, il vient $\left (\frac{a}{b}\right )^2+ 2+\left (\frac{b}{a}\right )^2=9$, donc $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=7$.

La solution est $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une -
  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Mai 2020, 3e défi

    le 22 mai 2020 à 00:06, par Al_louarn

    Bonsoir
    Ma méthode se généralise très bien pour $n$ quelconque, et permet de démontrer vos formules. Il suffit de voir que mis à part le carré central, qui n’existe que pour $n$ impair, tout autre petit carré appartient à un cycle de longueur $4$. En effet si on part d’un carré quelconque non central, au bout de $4$ rotations on revient au point de départ, en ayant parcouru $4$ carrés différents. Comme je l’ai déjà montré il y a $7$ configurations pour un cycle d’ordre $4$. Pour colorier de façon convenable le grand carré, on choisit pour chacun de ces cycles un des $7$ coloriages convenables. Et l’on peint le carré central en noir s’il y en a un. Au total on a donc $7^{u_n}$ combinaisons possibles, où $u_n$ est simplement le nombre de cycles d’ordre $4$ dans un grand carré $n \times n$. Comme les cycles forment une partition du grand carré, on obtient $u_n$ en divisant le nombre total de petits carrés $n^2$ par $4$ quand $n$ est pair. Quand $n$ est impair il faut d’abord retirer le carré central avant de diviser par $4$. Ainsi on obtient bien :
    $u_{2k} = \dfrac{(2k)^2}{4}=k^2$
    $u_{2k+1} = \dfrac{(2k+1)^2 - 1}{4}= \dfrac{4k^2 + 4k + 1 - 1}{4} =k(k+1)$

    En fait, en notant $[x]$ la partie entière de $x$, on peut condenser ces formules en une seule :
    $u_{n} = [\frac{n}{2}][\frac{n+1}{2}]$

    Et finalement :
    \[P(n) = \dfrac{7^{[\frac{n}{2}][\frac{n+1}{2}]}}{2^{(n^2)}}\]

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?