Un défi par semaine

Mai 2020, 5e défi

Le 29 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 22

Un coffre-fort nécessite une combinaison de trois chiffres pour être ouvert. Sachant que la somme de tous les chiffres est $10$, quel est le nombre maximal de tentatives qu’il faudra faire pour être certain de parvenir à ouvrir le coffre.

Solution du 4e défi de mai :

Enoncé

Observons que la droite passant par $(0,0)$ et $(1,1)$ passe aussi par les points $(2,2)$, $(3,3)$, $\ldots$, $(10,10)$, puisque pour chacun de ces points, la droite a la même pente.

Pour compter toutes les lignes droites, il s’agit donc de compter toutes les pentes possibles, c’est-à-dire toutes les valeurs possibles de $\frac{y}{x}$ où $x$ et $y$sont des nombres entiers compris entre $1$ et $10$. Il s’agit
donc de compter les couples $(x,y)$ où $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Comptons cas par cas :

  • Si $x=1$, alors $1\leq y\leq 10$ et nous avons dix droites distinctes : les droites dont les pentes sont des nombres entiers.
  • Si $x=2$, alors $y$ doit être un nombre impair, ce qui nous donne cinq couples $(2,y)$ possibles.
  • Si $x=3$, alors $y$ doit être différent de $3$, $6$ et $9$, ce qui nous donne sept couples.
  • Si $x=4$, alors $y$ doit être impair : cinq possibilités.
  • Si $x=5$, alors $y$ doit être différent de $5$ et $10$ : huit possibilités.
  • Si $x=6$, alors $y$ peut être égal à $1$, $5$ ou $7$ : trois possibilités.
  • Si $x=7$, alors $y$ ne peut pas être égal à $7$ : neuf possibilités.
  • Si $x=8$, alors $y$ doit être un nombre impair : cinq possibilités.
  • Si $x=9$, alors $y$ doit être différent de $3$, $6$ et $9$ : sept possibilités.
  • Si $x=10$, alors $y$ peut valoir $1$, $3$, $7$ ou $9$ : quatre possibilités.

Par conséquent, il y a au total $10+ 5+7+5+8 +3+9+5+7+4=63$ droites distinctes.

La solution est 63 droites.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une -
  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2020, 5e défi

    le 29 mai à 10:19, par François

    Comme la somme des trois chiffres vaut $10$ ,la connaissance des deux premiers donne le troisième.
    Si le premier est $0$ le second varie de $1$ à $9$ donc $9$ combinaisons possibles.
    Si le premier est $1$ le second varie de $0$ à $9$ donc $10$ combinaisons possibles.
    Si le premier est $2$ le second varie de $0$ à $8$ donc $9$ combinaisons possibles.
    etc ...
    Si le premier est $9$ le second varie de $0$ à $1$ donc $2$ combinaisons possibles.
    Soit en tout $9 + 10 + 9 +\dots + 2 = \frac {10*9} {2} + 8 = 53$

    Répondre à ce message
    • Mai 2020, 5e défi

      le 29 mai à 11:47, par François

      petite erreur dans la formule de la somme $ 9+ 10 + 9 + \dots + 2 = \frac {10*11} {2} + 8 = 63$.

      Répondre à ce message
    • Mai 2020, 5e défi

      le 29 mai à 11:48, par Celem Mene

      Le raisonnement est correct, mais il y en a 63 en tout.

      $ \frac {11 * 10} {2} + 9 - 1 = 63$

      Répondre à ce message
  • Mai 2020, 5e défi

    le 29 mai à 13:12, par Niak

    On pourrait aussi raisonner avec des points et des barres. Il s’agit de placer $2$ barres parmi $10$ points.
    Exemple : ${}\bullet{}\bullet{}|\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}|\bullet{}\bullet{}\bullet{} = (2,5,3)$.
    En prenant garde à éliminer les $3$ combinaisons invalides :
    $||\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{} = (0,0,10)$
    $|\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}| = (0,10,0)$
    ${}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}\bullet{}|| = (0,0,10)$
    Soit $\binom{10+2}{2}-3 = 63$.

    Répondre à ce message
    • Mai 2020, 5e défi

      le 30 mai à 15:03, par ROUX

      Très joli !
      Peut-être est-ce déjà vous qui aviez adopté cette technique (elle me rappelle quelque chose...) ?
      Et rien à voir avec vous dans ce qui suit.
      Juste pour les contributeurs ou contributrices au-dessus.
      Pédagogiquement, 9+10+9+8+7+...2 = 9+10+9+8+..2+1-1=9+(10+1)*10/2-1 = 63.

      Répondre à ce message
      • Mai 2020, 5e défi

        le 31 mai à 13:07, par Niak

        En effet, c’était ici, ça ne date pas d’hier !

        Répondre à ce message
        • Mai 2020, 5e défi

          le 31 mai à 13:36, par ROUX

          Je m’en souviens sans doute d’autant plus que j’avais, comme vous, répondu au défi d’alors  ;-) :-)
          Et comment avez-vous fait pour le retrouver ?

          Répondre à ce message
    • Mai 2020, 5e défi

      le 4 juin à 23:01, par Al_louarn

      Le nombre $N$ de combinaisons de somme $10$ avec $3$ chiffres entre $0$ et $9$ est aussi le coefficient de $x^{10}$ dans le polynome $P(x)=(1 + x + x^2 + ... + x^9)^3=(1-x)^{-3}(1-x^{10})^3$.
      La formule du binôme généralisée permet de développer le facteur de gauche sous la forme $(1-x)^{-3}={3-1 \choose 3-1} + {3 \choose 3-1}x + {3+1 \choose 3-1}x^2 + ... + {3 + k -1 \choose 3-1}x^k + ...$
      Le facteur de droite s’écrit $(1-3x^{10} +3x^{20}-x^{30})$, où seuls les deux premiers termes contribuent au coefficient de $x^{10}$ dans $P(x)$.
      Du coup les seuls termes qui nous intéressent dans le facteur de gauche sont en $x^0=1$ et $x^{10}$. Ainsi $N$ est aussi le coefficient de $x^{10}$ dans le polynome $(1 + {3 +10 -1 \choose 3-1}x^{10})(1-3x^{10})$, d’où $N = {12 \choose 2} - 3 = 63$

      Cette méthode classique est facile à généraliser, mais en terme de simplicité, impossible de rivaliser avec $2$ bâtons et $10$ cailloux !

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?