Un défi par semaine

Mai 2021, 1er défi

Le 7 mai 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 18
En marchant le long d’une rue, Pauline passe devant quatre maisons, toutes de couleurs différentes. Elle passe devant la maison orange avant la rouge et devant la bleue avant la jaune. La maison bleue n’est pas voisine de la jaune. De combien de manières différentes les maisons peuvent-elles être disposées ?

Solution du 5e défi d’avril.

Enoncé

La réponse est : « pour tout entier $n$ ».

Nous allons montrer que $m=n^5-5n^3+4n$ est toujours divisible par $120$.

Comme $120 = 2^3\times 3\times 5 = 8\times 3\times 5$, et que $8$, $3$ et $5$ sont deux à deux premiers entre eux, il suffit de montrer que $m$ est un multiple de $8$, $3$ et $5$.

De plus :
\[ \begin{eqnarray*} n^5-5n^3+4n &=& n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-4)(n^2-1)\\ &=&(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). \end{eqnarray*} \]

Le nombre $m$ est alors le produit de cinq entiers consécutifs et est donc divisible par $3$ et $5$ (en effet, sur cinq entiers consécutifs, il y a nécessairement un entier multiple de $3$ et un entier multiple de $5$).

De la même manière, pour toute famille de cinq entiers consécutifs, au moins l’un d’entre eux doit être multiple de $4$ et deux d’entre eux doivent être multiples de $2$. Ainsi, sur les cinq, un est multiple de $2$ et un autre multiple de $4$, donc le produit est multiple de $8$.

Finalement, pour toute valeur de $n$, l’entier $m=n^5-5n^3+4n$ est divisible par $120$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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