Un défi par semaine

Mai 2021, 2e défi

Le 14 mai 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 19
Dans la figure, combien y a-t-il de rectangles dont les quatre sommets sont de couleur identique et les côtés sont sur les lignes noires ?

PNG - 21.4 ko

Solution du 1er défi de mai :

Enoncé

La réponse est : trois.

Notons $O$ la maison orange, $R$ la rouge, $B$ la bleue et $J$ la jaune. Comme Pauline passe devant la maison bleue avant la jaune et que ces deux maisons ne sont pas voisines, la maison jaune $J$ ne peut être située qu’en troisième ou en quatrième position.

Si $J$ est en troisième position, alors la seule possibilité pour l’ordre des maisons est $B$-$O$-$J$-$R$.

Si $J$ est en dernière position, il y a deux possibilités : $B$-$O$-$R$-$J$ et $O$-$B$-$R$-$J$.

Au total, les maisons peuvent donc être disposées de trois façons différentes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Mai 2021, 2e défi

    le 14 mai à 13:30, par Mario

    Commençons par dénombrer les rectangles ayant des sommets violets :
    il y a uniquement cinq façons de choisir le sommet supérieur gauche, ce sont les 5 points situés dans le quadrant supérieur gauche, que je numérote :
    1 $\:$ 2
    $\:$ 3
    4 $\:$ 5
    Le sommet 1 permet d’obtenir 4 rectangles.
    Le sommet 2 permet d’obtenir 2 rectangles.
    Le sommet 3 permet d’obtenir 1 rectangle.
    Le sommet 4 permet d’obtenir 2 rectangles.
    Le sommet 5 permet d’obtenir 1 rectangle.
    Ce qui fait un total de 10 rectangles ayant des sommets violets.
    $\\$

    Concernant les sommets bleus, il y a 4 façons de choisir le sommet supérieur droit, parmi les 4 points bleus du quadrant supérieur gauche, que je numérote :
    $\:$ 1
    2 $\:$ 3
    $\:$ 4
    Le sommet 1 permet d’obtenir 2 rectangles.
    Le sommet 2 permet d’obtenir 2 rectangles.
    Le sommet 3 permet d’obtenir 1 rectangle.
    Le sommet 4 permet d’obtenir 1 rectangle.
    Ce qui fait donc un total de 6 rectangles ayant des sommets bleus.
    $\\$

    Finalement, il y a 16 rectangles possédant des sommets de couleurs identiques.

    Répondre à ce message
  • Mai 2021, 2e défi

    le 14 mai à 17:59, par Christophe Boilley

    Le choix d’un tel rectangle revient à choisir deux numéros de lignes distincts de même parité et deux numéros de colonne de même parité. Dans l’intervalle ⟦1, 2n⟧, il y a 2×(2 parmi n) = n(n−1) choix de deux nombres distincts de même parité, et dans l’intervalle ⟦1, 2n+1⟧ il y en a (2 parmi n) + (2 parmi n+1) = n².

    On retrouve donc ici avec 2n+1=5 lignes et autant de colonnes, n²×n² = 16 rectangles monochromes.

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    • Mai 2021, 2e défi

      le 19 mai à 22:10, par drai.david

      Et si l’on leur ajoute ceux dont les côtés ne sont pas déjà tracés (c.à.d. les rectangles obliques), on en trouve 38 au total.
      Et là, pour trouver une formule explicite dans une grille de côté n, c’est une autre paire de manches !

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      • Mai 2021, 2e défi

        le 20 mai à 23:17, par Christophe Boilley

        Il y a peut-être moyen de s’en sortir en utilisant le centre du rectangle, noté C. Soit il se situe au centre d’un carré blanc, soit il se situe sur un point de couleur. Un rectangle est alors déterminé par deux points de même couleur et à égale distance de ce centre, sans être diamétralement opposés, dans le plus grand carré de centre C à l’intérieur de la figure.

        Il y a des triplets pythagoriciens qui se cachent là-dessous.

        Répondre à ce message

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