Un défi par semaine

Mai 2021, 3e défi

Le 21 mai 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 20

On lance trois dés. Quelle est la probabilité que la somme soit strictement supérieure à $15$ ?

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

La réponse est $16$.

PNG - 21.4 ko

Les deux couleurs alternant sur chaque ligne horizontale et chaque ligne verticale, les rectangles doivent contenir sur chaque côté un nombre pair de petits côtés. Il y a donc trois types de tailles de rectangles : $2\times 2$, $2\times 4$ et $4\times 4$.

Pour avoir un rectangle de type $2\times 2$, il suffit de choisir son sommet supérieur gauche : cela nous fait $3\times 3=9$ possibilités.

Il y a six rectangles de taille $2\times 4$ : trois horizontaux et trois verticaux.

Il y a un seul rectangle de taille $4\times 4$ : le carré en entier.

Au total, il y a donc $9+6+1=16$ rectangles dont les quatre sommets sont de couleur identique.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Mai 2021, 3e défi

    le 22 mai à 17:09, par Al_louarn

    Le nombre total de résultats possibles est $6^3$.
    Le nombre de résultats favorables est $N_0 + N_1 + N_2$, où $N_k$ est le nombre de façons d’obtenir la somme $18-k$.
    Pour $k \leq 5$, $N_k$ est le nombre de façons de répartir $k$ balles dans $3$ boîtes (on répartit entre les $3$ dés les $k$ points à retirer de la somme maximale $18$).
    Ceci revient à insérer $2$ bâtons entre $k$ balles.
    On a donc $k+2$ objets en tout et on doit en choisir $2$ qui joueront le rôle des bâtons.
    D’où $N_k = \binom{2}{k+2}$.
    Ainsi le nombre de résultats favorables est $\binom{2}{2} + \binom{2}{3} + \binom{2}{4} = 1 + 3 + 6 = 10$.
    La probabilité demandée est donc $\dfrac{10}{6^3} = \dfrac{5}{108}$

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