Un défi par semaine

Mai 2021, 4e défi

Le 28 mai 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 21

Le nombre entier $M$ est le cube d’un entier naturel et c’est un multiple de $810$. Quelle est la valeur minimale de $\dfrac{M}{810}$ ?

Solution du 3e défi de mai :

Enoncé

La réponse est $\dfrac{5}{108}$.

Pour être supérieure à 15, la somme peut être $16$, $17$ ou $18$.

Examinons chaque cas.

  • Pour que la somme soit $16$, il faut obtenir :

$~~~~~~~~~~ $ 1. soit un « $6$ » et deux « $5$ », ce qui peut se faire de trois manières différentes : dans l’ordre $(6,5,5)$, $(5,6,5)$ ou $(5,5,6)$ ;

$~~~~~~~~~~$ 2. soit deux « $6$ » et un « $4$ », ce qui peut également se faire de trois manières différentes.

$~~~~~~~~~~$ En tout, cela fait six options.

  • Pour que la somme soit $17$, il faut obtenir deux « $6$ » et un « $5$ », ce qui peut se faire de trois manières différentes.
  • L’unique façon d’obtenir $18$ est de faire un triple « $6$ ».

En tout, il y a donc $~6+3+1=10~$ façons d’obtenir une somme strictement supérieure à $15$. Comme le nombre de résultats possibles est $6\times 6\times 6=216$, la probabilité cherchée est $\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • utilisation de la forme irreductible

    le 28 mai à 10:56, par Mihaela J

    $810 = 2*5*3^4$

    Le nombre recherché $M$ est de forme :
    \[ M = 2 \times 5 \times 3^4 \times x\]
    avec $x$ un entier ; $x$ est le nombre recherché qui est le plus petit assurant que $M$ soit un cube.

    $M$ aussi est minimal, donc il est :

    \[ M = 2^3 \times 5^3 \times 3^6\]

    Naturellement :
    \[ x = \frac{M}{810}= 2^2 \times 5 \times 3^2 = 900\]

    Répondre à ce message
  • Mai 2021, 4e défi

    le 28 mai à 17:59, par Blaxapate

    $0=0^3=0*810$

    Répondre à ce message

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