Un défi par semaine

Mai 2022, 1er défi

Le 6 mai 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 18

Combien mesure le périmètre d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure $39$ cm et dont le cercle inscrit a un rayon de $6$ cm ?

Solution du 5e défi d’avril 2022 :

Enoncé

Réponse : Six triplets.

On a $100=2^2 \times 5^2$ et $140=2^2 \times 5\times 7$.

Puisque $b$ doit être à la fois diviseur de $100$ et de $140$, il doit diviser leur plus grand diviseur commun, c’est-à-dire $2^2\times 5=20$.

Pour chaque diviseur de $20$, nous avons une valeur unique pour $a$ et une valeur unique pour $c$. Ainsi, la réponse est le nombre de diviseurs de $20$, qui est égal à $6$.

Nous avons donc six triplets possibles : $(100,1,140)$, $(50,2,70)$, $(25,4,35)$, $(20,5,28)$, $(10,10,14)$ et $(5,20,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mai 2022, 1er défi

    le 6 mai à 09:20, par Al_louarn

    Soient
    $A,B,C$ les sommets du triangle, avec l’angle droit en $A$,
    $O$ le centre du cercle inscrit
    $A',B',C'$ les points d’intersection du cercle inscrit avec respectivement les côtés $BC, AC, AB$
    On a donc $OA'=OB'=OC'$
    Le périmètre du triangle est $P=AB+AC+BC=AC' + BC' + AB' + CB' + BC$
    Les triangles $BOA'$ et $BOC'$ sont égaux puisqu’ils ont $2$ côtés égaux deux à deux, à savoir $OA'=OC'$, et le côté $BO$ en commun. Donc $BC'=BA'$.
    De la même façon on obtient $CB'=CA'$ et $AC'=AB'$. Par conséquent $BC'+CB'=BA+CA=BC$, donc $P=2BC + 2AC'$.
    Par ailleurs le quadrilatère $OC'AB'$ a des angles droits en $C', A, B'$ donc c’est un rectangle, et $AC'=OB'$ (c’est même un carré en fait puisque $AC'=AB'$).
    Le périmètre du triangle est donc $P=2(BC + OB')=2 \times (39+6)=90$

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  • Mai 2022, 1er défi

    le 6 mai à 11:53, par Lina

    Soient a et b les mesures des côtés de l’angle droit et P le périmètre.
    On a a + b = P - 39 et au carré a² + b² + 2ab = P² - 78 P + 39² ce qui se ramène à
    2ab = P² - 78P (merci Pythagore) ou encore P² = 78P + 2ab
    Les 3 segments qui joignent le centre du cercle inscrit aux 3 sommets définissent 3 triangles de hauteur 6 et dont les bases sont les côtés.
    La somme de leurs aires est donc 3P mais aussi l’aire du triangle ab/2.
    D’où 2ab = 12P et donc P² = 78P + 12P = 90P puis en simplifiant par P : P = 90

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    • Mai 2022, 1er défi

      le 6 mai à 20:00, par Niak

      En effet, et si l’on pousse jusqu’au bout la résolution des équations, on trouve $\{a,b\} = \{15,36\}$.

      Répondre à ce message

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