Un défi par semaine

Mai 2022, 3e défi

Le 20 mai 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 20

Si $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ sont les nombres $3$, $5$, $9$, $11$ et $25$ dans un certain ordre, quelle est la valeur maximale que peut prendre $(a+b+c+d)e$ ?

Solution du 2e défi de mai 2022 :

Enoncé

Réponse : $16$ façons.

Puisqu’il n’y a que huit parts en tout, au moins deux des parts choisies ne seront séparées que par une part.

Il n’y a alors que deux possibilités.

  • Si la troisième part est séparée des deux autres par plus d’une part, on est dans la configuration suivante, à rotation près (les astérisques indiquant les parts choisies).
PNG - 35.2 ko

Cela donne huit possibilités en prenant en compte les rotations (il suffit par exemple de choisir quelle va être la part « éloignée », et toute la configuration s’en déduit).

  • Si la troisième part n’est pas séparée des deux autres par plus d’une part, on est dans la configuration suivante, à rotation près (les astérisques indiquant toujours les parts choisies).
PNG - 35.1 ko

Là encore, cela donne huit possibilités en prenant en compte les rotations (il suffit de choisir, parmi les huit parts, laquelle va être la part choisie « centrale », et toute la configuration s’en déduit).

On donc en tout $8 + 8= 16$ façons de choisir les trois parts.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mai 2022, 3e défi

    le 20 mai à 08:20, par Didier Roche

    La valeur cherchée est 700.

    Répondre à ce message
  • Mai 2022, 3e défi

    le 20 mai à 09:07, par François

    Plus généralement, si $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ est une suite croissante de n réels positifs ($n>2$), en notant $\displaystyle S = \sum_{k=1}^n a_k$, $S_k = S - a_k$ et $h_k = a_{k+1} - a_k$ alors $\forall k < n$, $S_{k+1}a_{k+1} > S_ka_k$.
    En effet $S_{k+1} = S_k - h_k$ et $S_{k+1}a_{k+1} = S_ka_k + h_k(S - a_k - a_{k+1}) $, or $S > a_k +a_{k+1}$.
    Donc la valeur maximale des produits $S_ka_k$ est obtenue pour $S_na_n$.
    Ici pour $(3 + 5 + 9 + 11) . 25 = 700$.

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    • Mai 2022, 3e défi

      le 20 mai à 10:26, par ROUX

      Très jolie car le « plus » de votre démonstration est de montrer qu’il faut simplement mettre toujours le plus grand dehors :-), résultat que je n’ai pas de manière évidente, résultat qui ne saute pas aux yeux dans ce que j’ai fait !

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    • Mai 2022, 3e défi

      le 21 mai à 00:15, par Al_louarn

      Une preuve sans mot que $S_k a_k < S_n a_n$ pour tout $k < n$ :

      Document joint : preuve.png
      Répondre à ce message
  • Mai 2022, 3e défi

    le 20 mai à 10:16, par ROUX

    Ce problème est d’avoir chronologiquement une somme de $5$ nombres, puis on en retire un et il vient multiplier ce qui reste.
    Avec les $5$ nombres proposés, cela revient à chercher la valeur maximale de $(53 - x).x$ ou $x$ est le fameux nombre retiré.
    Cette fonction est une parabole qui vaut $0$ pour $x=0$ et $x=53$.
    On sent un axe de symétrie à $x=53/2=26,5$.
    Elle est croissante jusqu’à cet axe de symétrie puis décroissante au delà.
    $x$ sera dont la valeur la plus proche de $26,5$ soit, ici, $x=25$.
    On doit donc choisir $(3+5+9+11).25$ qui est égal à $700$.

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  • Mai 2022, 3e défi

    le 21 mai à 12:12, par jml83

    La somme des cinq nombres vaut 53.
    Soit P le produit dont on veut déterminer la valeur maximale.
    On a P = (53 - e)e
    Cette fonction est croissante sur l’intervalle (3, 25) car sa dérivée positive sur cet intervalle.
    P est donc maximale pour e = 25.
    La valeur recherchée est par conséquent (53 - 25) * 25 = 700.

    On peut calculer les cinq valeurs possibles (150, 240, 396, 462 et 700) ; mais c’est moins joli.

    Répondre à ce message

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