Un défi par semaine

Mai 2022, 4e défi

Le 27 mai 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 21

Parmi les entiers $x$ tels que $1 \leq x \leq 100$, combien y en a-t-il tels que $x$ divise $(x+20)(x+5)$ ?

Solution du 3e défi de mai 2022 :

Enoncé

Réponse : $700$.

Quelle que soit la répartition choisie, on a $a+b+c+d+e = 3+5+9+11+25 = 53$, et la quantité à maximiser est $(a+b+c+d)e = (53-e)e$.

Si l’on connaît cette notion, on reconnaît là un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif, dont les racines sont $e = 0$ et $e = 53$. Il s’ensuit que la quantité est d’autant plus grande que $e$ est proche de la moyenne $\frac{0 + 53}2 = 26{,}5$, donc, dans notre cas, qu’elle est maximale en $e = 25$.

Sinon, il n’est pas difficile de calculer les cinq valeurs possibles, en fonction du choix de $e$, et de constater que la plus grande est $(53 - 25) \times 25 = 700$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mai 2022, 4e défi

    le 27 mai à 09:43, par Niak

    $(x+20)(x+5) = 20\cdot5 \bmod x$ donc les solutions $x\geq 1$ sont exactement les diviseurs de $100=2^2\cdot5^2$, d’où $(2+1)\cdot(2+1) = 9$ solutions.

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  • Mai 2022, 4e défi

    le 27 mai à 10:26, par ROUX

    Si on développait l’expression, une seul terme serait sans $x$ : $5.20$. Il faudrait alors que $x$ divise aussi ce terme, soit $100$.
    Les valeurs de $x$ sont $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$, $25$, $50$ et $100$.
    Avec $x=25$ c’est joli parce, comme ça, a priori, $30.45$ ne semble pas divisible par $25$.

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  • Mai 2022, 4e défi

    le 28 mai à 08:46, par Kamakor

    $x$ divise $(x+20)(x+5)$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $kx=(x+20)(x+5)$ c’est-à-dire tel que $kx=x^2+25x+100$, ou encore tel que $(k-x-25).x=100$ (il existe alors $t\in\mathbb{Z}$ tel que $tx=100$).
    Autrement dit, il faut et il suffit que $x$ divise $100$.
    De plus, $100=2^{\color{red} 2} \times 5^{\color{red} 2}$ compte $({\color{red} 2}+1) \times ({\color{red} 2}+1)=9$ diviseurs compris entre $1$ et $100$.
    Il y a donc $9$ valeurs possibles pour $x$.

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