Un défi par semaine

Mai 2014, 2ème défi

Le 9 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Les côtés $AD$ et $BC$ d’un rectangle $ABCD$ mesurent $21\,cm$. $F$ et $E$ sont des points sur les côtés $BC$ et $CD$, respectivement, tels que $AB=AE$, $CE=CF$ et $FB=FE$. Combien mesure $AB$ ?

Solution du 1er défi de Mai

Enoncé

La réponse est 120.

On sait que $8\otimes 5=5\otimes 8=5\otimes (5+3)$ et $\frac{5\otimes (5+3)}{5\otimes 3}=\frac{8}{3}$. Maintenant, $5\otimes 3=3\otimes 5=3\otimes (3+2)$, de sorte que $\frac{3\otimes (3+2)}{3\otimes 2}=\frac{5}{2}$. De façon analogue on a $3\otimes 2=2\otimes 3=2\otimes (2+1)$, d’où $\frac{2\otimes (2+1)}{2\otimes 1}=\frac{3}{1}=3$. Finalement, $2\otimes 1=1\otimes 2=1\otimes (1+1)$ et $\frac{1\otimes (1+1)}{1\otimes 1}=\frac{2}{1}=2$. Par conséquent, on obtient

$\frac{8\otimes 5}{5\otimes 3} = \frac{8}{3}$

$\frac{5\otimes 3}{3\otimes 2} = \frac{5}{2}$

$\frac{3\otimes 2}{2\otimes 1} = 3$

$\frac{2\otimes 1}{1\otimes 1} = 2,$

ce qui donne

$8\otimes 5 = \frac{8}{3}\times (5\otimes 3)=\frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times (3\otimes 2)$

$= \frac{8}{3}\times \frac{5}{2}\times 3\times (2\otimes1)$

$= \frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times3\times2\times (1\otimes 1).$

Donc, $8\otimes 5=40\times (1\otimes 1)$. Comme $1\otimes 1=1+2=3$, il s’ensuit que $8\otimes 5=3\times 40=120$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Mai, 2ème défi

    le 15 mai 2014 à 23:41, par jokemath

    CE=CF, donc le triangle CEF est rectangle isocèle en C, et l’angle CEF mesure 45°.

    AB=AE et FB=FE donc (AF) est la médiatrice de [BE]. Alors l’angle FEA est droit comme symétrique de l’angle FBA (qui est aussi CBA).
    La somme des mesures des angles CEF, FEA et AED étant 180°, on en déduit que l’angle AED mesure 45°, donc le triangle AED est rectangle isocèle en D, et donc AE=AD√2.

    Comme AB=AE, et AD = 21, on trouve AB= 21√2

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