Un défi par semaine

Mai 2014, 2ème défi

Le 9 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Les côtés $AD$ et $BC$ d’un rectangle $ABCD$ mesurent $21\,cm$. $F$ et $E$ sont des points sur les côtés $BC$ et $CD$, respectivement, tels que $AB=AE$, $CE=CF$ et $FB=FE$. Combien mesure $AB$ ?

Solution du 1er défi de Mai

Enoncé

La réponse est 120.

On sait que $8\otimes 5=5\otimes 8=5\otimes (5+3)$ et $\frac{5\otimes (5+3)}{5\otimes 3}=\frac{8}{3}$. Maintenant, $5\otimes 3=3\otimes 5=3\otimes (3+2)$, de sorte que $\frac{3\otimes (3+2)}{3\otimes 2}=\frac{5}{2}$. De façon analogue on a $3\otimes 2=2\otimes 3=2\otimes (2+1)$, d’où $\frac{2\otimes (2+1)}{2\otimes 1}=\frac{3}{1}=3$. Finalement, $2\otimes 1=1\otimes 2=1\otimes (1+1)$ et $\frac{1\otimes (1+1)}{1\otimes 1}=\frac{2}{1}=2$. Par conséquent, on obtient

$\frac{8\otimes 5}{5\otimes 3} = \frac{8}{3}$

$\frac{5\otimes 3}{3\otimes 2} = \frac{5}{2}$

$\frac{3\otimes 2}{2\otimes 1} = 3$

$\frac{2\otimes 1}{1\otimes 1} = 2,$

ce qui donne

$8\otimes 5 = \frac{8}{3}\times (5\otimes 3)=\frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times (3\otimes 2)$

$= \frac{8}{3}\times \frac{5}{2}\times 3\times (2\otimes1)$

$= \frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times3\times2\times (1\otimes 1).$

Donc, $8\otimes 5=40\times (1\otimes 1)$. Comme $1\otimes 1=1+2=3$, il s’ensuit que $8\otimes 5=3\times 40=120$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Mai, 2ème défi

    le 22 mai 2014 à 09:41, par Daniate

    Je n’avais pas vu votre message, il est amusant de découvrir que la solution de votre énigme est justement la figure du défi, pliages en AE et en BE, pour un triangle isocèle ABE d’aire moitié de la feuille.

    Répondre à ce message

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