Un défi par semaine

Mai 2014, 4ème défi

El 23 mayo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

A un cube solide de $2\,cm$ de côté, on enlève toutes les pyramides dont un sommet est un sommet du cube et les trois autres sommets sont sur les arêtes du cube, à un $1\,cm$ du premier sommet. Combien de sommets a le nouveau polyèdre?

Solution du 3ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $1+\sqrt{2}$.

On veut trouver un nombre dont l’inverse est égal à lui-même moins sa partie entière, ce qui s’écrit, si $n$ est le nombre recherché et $\lfloor n\rfloor$ désigne sa partie entière, $\frac{1}{n}=n-\lfloor n\rfloor$. En multipliant cette équation par $n$ on obtient $1=n(n-\lfloor n\rfloor)$, soit $n^2-\lfloor n\rfloor n-1=0.$
En résolvant cette équation du second degré en $n$, on a alors

$n=\frac{\lfloor n\rfloor\pm\sqrt{ \lfloor n\rfloor^2+4}}{2}.$

Si $\lfloor n\rfloor=1$ on obtient le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ Si $\lfloor n\rfloor=2$ on obtient alors $n=\frac{2\,\pm \, 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$. Si $n=1-\sqrt{2}$, sa partie entière est nulle, ce qui n’est pas ce que l’on cherche. Si $n=1+\sqrt{2}=1{,}414213566\dots$, alors $\frac{1}{n}=0{,}414213566\ldots$ a la propriété voulue.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

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  • Mai, 4ème défi

    le 24 de mayo de 2014 à 13:00, par olivier longuet

    S=12 , F=14 , A =24
    Et si, au lieu de partir du cube, on partait d’un octaèdre ?

    Répondre à ce message

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