Un défi par semaine

Mai 2014, 4ème défi

Le 23 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

A un cube solide de $2\,cm$ de côté, on enlève toutes les pyramides dont un sommet est un sommet du cube et les trois autres sommets sont sur les arêtes du cube, à un $1\,cm$ du premier sommet. Combien de sommets a le nouveau polyèdre ?

Solution du 3ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $1+\sqrt{2}$.

On veut trouver un nombre dont l’inverse est égal à lui-même moins sa partie entière, ce qui s’écrit, si $n$ est le nombre recherché et $\lfloor n\rfloor$ désigne sa partie entière, $\frac{1}{n}=n-\lfloor n\rfloor$. En multipliant cette équation par $n$ on obtient $1=n(n-\lfloor n\rfloor)$, soit $n^2-\lfloor n\rfloor n-1=0.$
En résolvant cette équation du second degré en $n$, on a alors

$n=\frac{\lfloor n\rfloor\pm\sqrt{ \lfloor n\rfloor^2+4}}{2}.$

Si $\lfloor n\rfloor=1$ on obtient le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ Si $\lfloor n\rfloor=2$ on obtient alors $n=\frac{2\,\pm \, 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$. Si $n=1-\sqrt{2}$, sa partie entière est nulle, ce qui n’est pas ce que l’on cherche. Si $n=1+\sqrt{2}=1{,}414213566\dots$, alors $\frac{1}{n}=0{,}414213566\ldots$ a la propriété voulue.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Mai, 4ème défi

    le 24 mai 2014 à 11:08, par grafton

    Pour celles et ceux qui se méfient (à tort !) des raisonnements par récurence, il suffit d’aller chercher au grenier un bon vieux espace othonormé de dimension N et de coincer un hypercube trouvé dans votre ancienne caisse à jouets dans le coin origine (vous savez, celui qu’on appelle 0 d’habitude).

    Vous constaterez alors que les sommets de l’hypercube ont pour coordonnées (X1, X2, X3,...,XN) chaque coordonnée pouvant prendre la valeur 0 ou L (L est la longueur de l’arête). On a donc 2^N possibilités et donc autant de sommets.

    Le nombre d’arrêtes partant du sommet « origine » est tout simplement égal à la dimension de l’espace. Et ce qui est vrai pour le sommet origine est aussi vrai pour les autres. On a donc pour chaque sommets N arêtes qui en partent.

    Le nombre d’arêtes est donc égal à Nx2^N. Mais en opérant ainsi on compte deux fois l’arête qui relie deux sommets, une fois pour chaque sommet. Il faut donc diviser par 2. et on obtient bien Nx2^(N-1).

    Remarquons que si on rabotait le cube à moins de la moitié de l’arête, on aurait 2 fois plus de sommets et la formule serait plus jolie...mais le polyèdre obtenu plus moche.

    Je soumets donc cette question à votre réflexion collective : vaut-il mieux une belle formule ou un beau polyèdre ???

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