Je vais vous présenter deux modèles très classiques dans les domaines des probabilités et des systèmes dynamiques :

• les marches aléatoires (modèle probabiliste),
• un modèle de Lorentz ou billard de Sinai (modèle déterministe).

Mon but est de montrer les similitudes existant entre ces deux modèles et d’introduire ainsi d’une certaine manière la théorie du chaos.

En ce qui concerne les probabilités, nulle connaissance pointue n’est nécessaire pour comprendre ce qui suit. Je vous rappelle simplement qu’une probabilité mesure la chance qu’a un événement de se produire.
La probabilité qu’a un événement $A$ de se produire est un nombre $P(A)$ compris entre $0$ (=0%) et $1$ (=100%).

• $P(A)=0$ signifie que l’événement $A$ ne se produit (presque) jamais (un tel événement n’est jamais observé).
• $P(A)=1$ signifie que l’événement $A$ se produit (presque) toujours.

Le mot presque fait partie du vocabulaire probabiliste et peut être oublié.

Marche aléatoire en dimension 1

Considérons un marcheur aléatoire (dont les pas sont tous de même longueur) qui, avant chaque pas, tire à pile ou face si il va aller sur le site de gauche ou sur le site de droite.

$\quad$

Ce modèle est appelé marche aléatoire simple symétrique sur l’ensemble des entiers (en numérotant les sites par les entiers ...,-2,-1,0,1,2,...). De nombreux aspects de ce modèle ont été et sont encore étudiés. Je ne vais m’intéresser ici qu’à deux questions :

1. la récurrence,
2. le nombre $R_n$ de sites différents visités avant le $n$-ème pas.

Marche aléatoire en dimension 2

Considérons à présent un marcheur aléatoire qui peut se déplacer vers la gauche, vers la droite, vers le haut et vers le bas avec, à chaque pas, une chance sur quatre d’aller dans chacune de ces directions.

On peut encore se poser la question de la récurrence et s’intéresser au comportement du nombre $R_n$ de sites visités avant le $n$-ème pas.

Encore une fois, la propriété de récurrence est vérifiée mais le nombre de sites visités est plus grand : lorsque $n$ est grand, $R_n$ est de l’ordre de $n/ln(n)$, donc est un peu plus petit que $n$ (rappels sur la fonction $ln$ : [1]).

$\quad$

Les marches aléatoires sont également présentées sur wikipédia.

Modèle de Lorentz, billard de Sinai

En 1905, H. A. Lorentz modélisa les déplacements des électrons dans certains métaux en les considérant indépendants les uns des autres, les collisions des électrons avec les atomes métalliques (supposés fixes) étant prépondérantes
(référence recherche : [2]).

Simplifions ce modèle. Considérons que les atomes sont des disques répartis de manière périodique dans le plan :

Supposons que la configuration soit telle que toute droite rencontre forcément un atome (on parle d’horizon fini).
On considère une particule ponctuelle (représentant un électron) se déplaçant à 300 km/s.
On suppose que lorsqu’elle ne rencontre pas d’atome, la particule se déplace en ligne droite mais que, à l’instant où elle rencontre un atome, elle rebondit dessus suivant la loi classique (de Descartes) de la réflexion : angle incident=angle réfléchi.

Ce modèle étudié d’abord par Y. G. Sinai avec des résultats en 1970 est totalement déterministe : si on connaît la position et l’orientation de la particule à l’instant $0$, on peut calculer sa position et son orientation à tout instant $t$.
Mais, en pratique, on ne connaît la position et l’orientation à l’instant $0$ qu’avec une certaine précision (nous sommes limités par nos appareils de mesure).
On sait seulement que la particule part d’une petite région $B$ autour d’un point $X$, avec une orientation dans un petit domaine $C$ autour d’une orientation $V$.

L’imprécision sur les position et orientation initiales crée un aléa et avec ce petit aléa initial, ce système se comporte comme la marche aléatoire en dimension 2. La forme des obstacles joue un rôle dans ce comportement chaotique : deux particules peuvent partir avec des positions et orientations très proches et avoir des trajectoires s’éloignant beaucoup l’une de l’autre (on dit que ce système est hyperbolique).

Benoît Saussol, avec qui j’ai eu l’occasion de travailler sur le modèle de Lorentz, a réalisé des animations sur ce modèle.

Vous pouvez également consulter une page web sur laquelle je présente le modèle de Lorentz et le billard de Sinai d’une manière proche sans être identique au contenu de cet article.

L’étude du comportement chaotique de systèmes déterministes est un champ de recherche très actif à l’interface des systèmes dynamiques et des probabilités. L’étude du modèle de Lorentz se révèle vite difficile, de nombreuses questions sont encore ouvertes, notamment en dimension 3 (dans l’espace, avec des atomes sphériques) où des problèmes techniques plus complexes encore se posent.