Un défi par semaine

Mars 2015, 1er défi

Le 6 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (17)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Les points d’une grille sont numérotés suivant la trajectoire. Quel est le numéro se trouvant à la gauche de $2015$ ?

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Solution du 4ème défi de Février :

Enoncé

La réponse est $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Soit $S$ le centre de l’hexagone et $T$ celui du pentagone.

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Les deux polygones sont réguliers. Comme ils ont le côté $[FE]$ en commun, $AF = FE = EG.$ Donc $AFG$ est isocèle en $F$. Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FAG}$ il suffit de connaître celle de $\widehat{AFG}$.

Observons que l’hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux congruents à $ASF$. Donc

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Le pentagone est formé de $5$ triangles isocèles en $T$ et congruents à $FTG$, par conséquent

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

d’où

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Donc $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ}. $

Par conséquent $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}$ et comme le triangle $AFG$ est isocèle en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 12:53, par Bastien_B

    En faite je viens de m’apercevoir de mon erreur !
    Quand je dit

    « Et c’est là qu’on s’aperçoit que tous se qu’on viens de faire était inutile pour répondre à la question posé !! Car on pouvait directement répondre 2016 !!! :o »

    c’est en faite faux !
    Car il se pouvait que la ligne ne soit pas assez longue pour contenir 2015..
    Je n’ai finalement pas démontrer le résultat.. Le défi reste encore irrésollu..

    Il faut alors montrer qu’il y a suffisement de nombre sur la ligne pour contenir 2015 (et donc 2016) Il faut donc montrer ici qu’il y a plus de 79 nombres sur la ligne U21 ;)

    Répondre à ce message

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