Un défi par semaine

Mars 2015, 1er défi

Le 6 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (17)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Les points d’une grille sont numérotés suivant la trajectoire. Quel est le numéro se trouvant à la gauche de $2015$ ?

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Solution du 4ème défi de Février :

Enoncé

La réponse est $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Soit $S$ le centre de l’hexagone et $T$ celui du pentagone.

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Les deux polygones sont réguliers. Comme ils ont le côté $[FE]$ en commun, $AF = FE = EG.$ Donc $AFG$ est isocèle en $F$. Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FAG}$ il suffit de connaître celle de $\widehat{AFG}$.

Observons que l’hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux congruents à $ASF$. Donc

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Le pentagone est formé de $5$ triangles isocèles en $T$ et congruents à $FTG$, par conséquent

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

d’où

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Donc $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ}. $

Par conséquent $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}$ et comme le triangle $AFG$ est isocèle en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:14, par Daniate

    La réponse est l’année où la Savoie et Nice sont devenues Françaises.

    Répondre à ce message

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