Un défi par semaine

Mars 2015, 1er défi

Le 6 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (17)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Les points d’une grille sont numérotés suivant la trajectoire. Quel est le numéro se trouvant à la gauche de $2015$ ?

PNG - 23.6 ko

Solution du 4ème défi de Février :

Enoncé

La réponse est $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Soit $S$ le centre de l’hexagone et $T$ celui du pentagone.

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Les deux polygones sont réguliers. Comme ils ont le côté $[FE]$ en commun, $AF = FE = EG.$ Donc $AFG$ est isocèle en $F$. Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FAG}$ il suffit de connaître celle de $\widehat{AFG}$.

Observons que l’hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux congruents à $ASF$. Donc

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Le pentagone est formé de $5$ triangles isocèles en $T$ et congruents à $FTG$, par conséquent

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

d’où

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Donc $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ}. $

Par conséquent $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}$ et comme le triangle $AFG$ est isocèle en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:34, par Bastien_B

    Rebonjour à tous,
    Je poste un nouveau message pour terminer la recherche.
    J’ai pris un peu de temps avant de bien percevoir le truc.
    Voici l’image qui vous aidera à mieux comprendre le raisonnement (les histoires de ligne et colonnes).

    Conseil : clic droit sur image et ouvrez dans un nouvelle onglet, cela vous permettra de visualiser en même temps que la lecture.

    Si l’on continuerai notre tableur on aurais 2015 compris entre U20 (1924) et U21 (2088) (démontré à l’aide de la suite dans le commentaire précédent).
    Or on sais que U20 est à la 42ème ligne avec pour colonne numéros 1.
    Aussi U21 44ème ligne et colonne 1.
    Ensuite on sais que si on monte d’une case au dessus de U20 on obtient U20 + 1 = 1925 (ligne 43 colonne1)
    D’après notre tableur si on continuerai on aurai 44 colonnes sur la 44ème lignes et 43 colonnes sur la ligne 43. J’espère que vous visualisez ce que je veux exprimer..
    Bref continuons ; vu que 2088-2015=73>44 on déduit que 2015 n’est pas sur la ligne 44.
    De même 2015-1925=90>43 donc 2015 n’est pas sur la ligne 43.
    On peut donc amener notre conclusion : 2015 est soit dans la colonne 43 soit dans la colonne 44 en précisant bien que il n’est pas non plus dans les ligne 43 et 44.
    Il faut maintenant revenir en arrière, par rapport à la ligne 44, on doit donc « descendre » dans la colonne 44. Plus précisément on doit descendre de 29 cases pour tomber sur 2015 !
    On arrive enfin à se nombre, il faut maintenant trouver quelle est le nombre que l’on peut lire sur sa gauche. Si on reprend à partir de la ligne 43 on avance de 43 positions sur la droite, puis on décend de 28 (29-1 car nous somme sur la ligne 43 et non sur 44) on trouvera alors le nombre qui est à la même ligne que le nombre 2015 mais à une colonne vers la gauche !!!
    En procédant ainsi on trouve que le nombre à gauche du nombre 2015 est 1925+43+28=1996.
    En bonus voici une image représentant les deux dernières colonnes (43 et 44) ainsi que les ligne 43 et 44.

    Conclusion : le Nombre à gauche de 2015 est 1996.

    Enfin terminer ce défi ^^
    Bonne journée à tous, Bastien

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