Un défi par semaine

Mars 2015, 2e défi

El 13 marzo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Jean possède un grand nombre de cubes blancs identiques. Il trace une diagonale sur chacune des faces des cubes. Combien peut-il obtenir au maximum de cubes différents ? (Deux cubes sont identiques s’ils diffèrent d’une rotation.)

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1860$.

Observons que les carrés des nombres impairs se situent toujours sur le bord inférieur de la grille, alors que les carrés des nombres pairs se trouvent sur le côté gauche de la grille. Ceci est une conséquence du fait que chaque fois que la trajectoire foncée arrive dans le bord inférieur de la grille, elle a parcouru tous les sommets d’une grille carrée avec un nombre impair de sommets dans chacun de ses bords.

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Les carrés encadrant $2015$ sont les nombres $1936=44^2$ et $2025 = 45^2$. Tous les carrés des nombres impairs se trouvent à l’extrémité d’un segment descendant. De plus 2015 est plus proche de $45^2$ que de $44^2$. Ainsi, 2015 se trouve sur le segment descendant qui se termine par 2025.

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Le carré impair précédant $45^2$ est $43^2=1849$; le numéro suivant se trouvant à sa droite est donc 1850. Ainsi le point recherché se trouve à la verticale de $1850$ et à même distance de $1850$ que $2015$ de $2025$. Finalement, le numéro recherché est $1850+(2025-2015) = 1850+10=1860$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mars 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 2ème défi

    le 15 de marzo de 2015 à 17:06, par Pierre Renfer

    Le problème en suggère un autre.

    On peut utiliser aussi le lemme de Burnside comme le préconise Idéophage pour chercher le nombre de cubes lorsqu’on identifie cette fois deux cubes qui se correspondent par l’une des 48 isométries du cube, qu’il s’agisse d’un déplacement ou d’un antidéplacement.
    On devrait en obtenir alors un peu moins que 8.

    En plus des 24 déplacements étudiés par Idéophage, il faut alors envisager les 24 antidéplacements :
    Chaque isométrie réalise une permutation sur les 6 faces qu’il s’agit de décomposer en produit de cycles (à supports disjoints).

    • Par la symétrie centrale, comportant 3 cycles de longueur 2, 8 cubes sont invariants.
    • Par l’une des 6 antirotations d’ordre 4, comportant un cycle de longueur 4 et un cycle de longueur 2, 4 cubes invariants.
    • Par l’un des trois miroirs dont le plan est parallèle à une face, aucun cube n’est invariant (sur les 4 faces globalement invariantes, les diagonales ne sont pas conservées).
    • Par l’un des 6 miroirs de plans diagonaux, comportant 2 cycles de longueurs 2 et 2 faces invariantes, 16 cubes sont invariants (sur les faces invariantes les diagonales sont conservés).
    • Par l’une des 8 antirotations d’ordre 6,comportant un cycle de longueur 6, 2 cubes sont invariants.

    Le nombre N de cubes vérifie donc :
    48*N=64+3*16+6*8+8*4+8+6*4+6*16+8*2

    Donc N=7

    On identifie cette fois des cubes énantiomorphes comme disent les chimistes.

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