Enoncé

La réponse est $1860$.

Observons que les carrés des nombres impairs se situent toujours sur le bord inférieur de la grille, alors que les carrés des nombres pairs se trouvent sur le côté gauche de la grille. Ceci est une conséquence du fait que chaque fois que la trajectoire foncée arrive dans le bord inférieur de la grille, elle a parcouru tous les sommets d’une grille carrée avec un nombre impair de sommets dans chacun de ses bords.

Les carrés encadrant $2015$ sont les nombres $1936=44^2$ et $2025 = 45^2$. Tous les carrés des nombres impairs se trouvent à l’extrémité d’un segment descendant. De plus 2015 est plus proche de $45^2$ que de $44^2$. Ainsi, 2015 se trouve sur le segment descendant qui se termine par 2025.

Le carré impair précédant $45^2$ est $43^2=1849$ ; le numéro suivant se trouvant à sa droite est donc 1850. Ainsi le point recherché se trouve à la verticale de $1850$ et à même distance de $1850$ que $2015$ de $2025$. Finalement, le numéro recherché est $1850+(2025-2015) = 1850+10=1860$.